Introduccion a la geometria analitica

Introducci´n a la geometr´ anal´ o ıa ıtica


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1.1

Sistema de coordenadas rectangulares
sistema coordenado rectangular

El sistema coordenado rectangular, indicado en la figura 1, consta de dos rectas reales X y Y , llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre s´ La recta X se llama eje X o eje ı. de las abscisas, La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas; y su punto deintersecci´n 0, o el origen. Estos ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes tal como se indica en la figura 1. La direcci´n positiva del eje x es hacia la derecha; la o direcci´n positiva del eje Y , hacia arriba. o

Y II(-,+) y 1 0 III(-,-) 1 x X P x1 y1 I(+,+)

Y

. P(x,y)

y2

Q

R 0 x2 X

IV(+,-)

Figura 1

Figura 2

A cada punto P del plano se lepuede asignar un par de n´meros, llamados coordenadas u del punto. Si una recta horizontal y una vertical que pasen por P intersecan los ejes X e Y en x e y, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (x, y) (ver la figura 1). Llamaremos a (x, y) un par ordenado de n´meros debido a que tiene importancia cual u de los dos va primero. El primer n´mero, x, es la abscisa; el segundo n´mero, b, es lau u ordenada. Rec´ ıprocamente, t´mese un par ordenado de n´meros cualesquiera (x, y). La recta vertical o u que pasa por x en el eje de las abscisas y la horizontal que pasa por y en el eje de las ordenadas se cortan en un punto P , cuyas coordenadas son (x, y). Es evidente que a cada punto P del plano coordenado le corresponden uno y solamente 1

Introducci´n a la geometr´ anal´ o ıa ıtica.Yoel Guti´rrez - 2005 e

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un par de coordenadas (x, y). Rec´ ıprocamente, un par de coordenadas (x, y) cualesquiera determina uno y solamente un punto en el plano coordenado.

1.2

Distancia entre dos puntos

Consideremos dos puntos cualesquiera P y Q, con coordenadas (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ), respectivamente. Junto con R; el punto de coordenadas (x2 , y1 ); P y Q, son los v´rticesde un e tri´ngulo rect´ngulo (ver figura 2). Las longitudes de los segmentos P R y RQ son |x2 − x1 | a a y |y2 − y1 |, respectivamente. Cuando se aplica el teorema de Pit´goras obtenemos que la a distancia d entre los puntos P y Q es d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

1.3

Punto medio de un segmento

Sean P (x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ), con x1 < x2 , los extremos del segmento P Q como en la figura 3.Sea M (x, y) el punto medio de dicho segmento. Los tres segmentos paralelos P A, M B y QC, determinan dos segmentos P M y M Q de igual longitud, por los tanto; por la geometr´ elemental; los segmentos AB y CB tambi´n tienen la misma longitud, esto es: ıa e x − x1 = x2 − x. x1 + x2 De donde, despejando x se tiene que x = . 2 y1 + y2 En forma an´loga se deduce que y = a . 2 De esto se concluye que lascoordenadas del punto medio del segmento de extremos P (x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) son x1 + x2 y1 + y2 M , 2 2 Y Y L1 L Q y2 M y P y1 a1 a A B C x2 x x1 X X

Figura 3

Figura 4

Introducci´n a la geometr´ anal´ o ıa ıtica.

Yoel Guti´rrez - 2005 e

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1.4

Gr´fica de una ecuaci´n y lugares geom´tricos a o e

Supongamos que se nos da una ecuaci´n de dos variables, x e y, que podemosescribir, o brevemente, en la forma f (x, y) = 0. (1.1) En general, hay un n´mero infinito de pares de valores de x e y que satisfacen esta ecuaci´n. u o Cada uno de tales pares de valores reales se toman como las coordenadas (x, y) de un punto en el plano real. El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan la ecuaci´n (1.1), se llama gr´fica de la ecuaci´n, obien, su lugar o a o geom´trico. e

1.5

Ecuaci´n general de segundo grado o

En lo sucesivo haremos un estudio de la ecuaci´n genera de segundo grado, o Ax2 + Bxy + cy 2 + Dx + Ey + F = 0. En particular, consideraremos el caso en que B = 0. (1.2)

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La recta

Admitiremos la existencia de la linea recta como un t´rmino primitivo. e

2.1

Pendiente de una recta

Se llama...