Introduccion A La Investigacion De Operaciones

modelo hipergeometricoLAS OPOSICIONES Y EL MODELO DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICO Manuel Amaro Parrado IES Jándula (Andújar) José María Amaro Parrado IES Albert Einstein (Sevilla) Resumen Tal vez la mayor preocupación de un opositor es saber qué probabilidad de éxito tiene sabiendo que se ha estudiado un número determinado de temas. En este artículo veremos las características del modelo deprobabilidad hipergeométrico y su aplicación en este supuesto, así como distintas formas cómodas y sencillas de obtener probabilidades usando este modelo. Abstract Maybe candidates’ main concern consists in calculating their success probabilities having in count the number of units they have studied previously. In this paper, we will explain some topics about the hypergeometric probability model andits use in competitive examinations. We will also learn different and easy ways to obtain probabilities using this model. El tradicional modelo de oposiciones a primaria y secundaria resulta interesante para realizar un pequeño estudio estadístico con el que los participantes pueden optimizar esfuerzos y ganar en confianza. Son muchos los opositores que buscan consejo, queriendo entender quéposibilidades tienen de llegar al éxito bajo unas condiciones dadas. Los supuestos de partida suelen ser diferentes, pues a distintas especialidades suelen corresponder distinto número de temas, además de que es habitual que las sucesivas convocatorias de oposiciones sufran cambios de un año para otro. A pesar de ello, subyace bajo todo esto un único modelo probabilístico que nos ayudará a entender conclaridad el mecanismo de este sistema de oposición: el modelo de probabilidad hipergeométrico.

MODELO HIPERGEOMÉTRICO Supongamos que tenemos una población con N individuos, de los cuales marcamos un número m. Si en esta población realizamos un muestreo sin reposición de n individuos, y llamamos X a la variable “número de individuos marcados en los n seleccionados”, entonces X sigue un modelo deprobabilidad hipergeométrico. Si nos damos cuenta, este supuesto es extrapolable al caso de las oposiciones: • N (número total de individuos) se corresponde con el número de unidades de que consta el temario. • m (individuos marcados) será el número de temas que cada opositor haya estudiado. • n (elementos extraídos sin reposición) es el número de bolas que saca el tribunal.

En este supuestola variable aleatoria es X: número de temas estudiados que han salido en la muestra. La probabilidad, según este modelo, de que a un opositor le salgan k temas favorables el día de la prueba es:
 N − mm     n − k  k  P( X = k ) = N   n

Básicamente esta fórmula se reduce a la definición de Laplace de que la probabilidad de un suceso A se calcula mediante la fórmula:

Ennuestro caso, los casos posibles son las formas de combinar (sin repetir) N elementos N tomados de n en n,   , mientras que para calcular los casos favorables habría que n

m tomar todas las formas de sacar los k temas solicitados dentro de los m marcados,   , k y de los N-m no marcados ver de cuántas formas se pueden sacar los n-k no solicitados  N − m  .  n−k 
Ejemplo:

Eltemario de una oposición consta de 70 temas. Un estudiante que se ha preparado sólo 22 desea saber qué probabilidad tendría de aprobar (es decir, que le salga al menos uno de sus temas) si el tribunal sacará de manera aleatoria y sin reposición 5 temas.
En este supuesto, el número total de temas es N=70. El opositor ha marcado (estudiado) m=22, mientras que n=5 es el número de temas que sacará eltribunal. Calcular la probabilidad de aprobar usando una variable X que se distribuye mediante un modelo hipergeométrico es igual a calcular la suma de las probabilidades de que X (nº de temas marcados en la muestra) sea 1, 2, 3, 4 ó 5: P(Aprobar)= P ( X = 1) + P ( x = 2) + P ( x = 3) + P ( x = 4) + P ( x = 5)
En lugar de realizar tantos cálculos, es mucho más sencillo razonar a la inversa, es...