Introduccion a la logica matematica

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

CAPITULO I

Prof. DORIS HINESTROZA GUTIERREZ

INTRODUCCION A LA LOGICA MATEMATICA
Con esta introducci´n de la L´gica pretendemos estudiar ciertos principios importantes para el estudio de la o o matem´tica. a Definici´n. Una proposici´n es una oraci´n declarativa completa con un significado bien definido y de la cual o oo podemos decir que es verdadera o falsa. Por ejemplo las oraciones: “el oro es un metal precioso”, 2+3=5, 2+3=8 son proposiciones. Consideraremos proposiciones en su forma m´s simple (at´micas) y las proposiciones compuestas, como aquellas fora o e o o e madas por proposiciones simple mediante t´rminos de enlace. Una proposici´n simple es una proposici´n sin t´rminos de enlace.Los t´rminos deenlace se usan para formar nuevas proposiciones a partir de proposiciones at´micas. e o Por ejemplo, consideremos las siguientes proposiciones at´micas, o Hoy es Domingo. No hay clase. Mediante un t´rmino de enlace podemos formar una nueva proposici´n compuesta. Por ejemplo e o Hoy es Domingo y no hay clase El t´rmino de enlace que hemos utilizado es “y”. Cuando tenemos una proposici´n molecular esimportante detere o minar las proposiciones at´micas que la componen. o

TERMINOS DE ENLACE
Los t´rminos de enlace entre proposiciones que utilizaremos son: ¿ y À, ¿ o À, ¿ no À, ¿ si..., entonces À . e Simb´licamente representaremos estos t´rminos de enlace por ∧, ∨, ∼, =⇒, respectivamente. o e Claramente al utilizar un t´rmino de enlace entre dos o m´s proposiciones at´micas obtendremosproposiciones e a o compuestas. Observemos que el t´rmino de enlace ¿ no À act´a sobre una sola proposici´n, mientras que los dem´s t´rminos de e u o a e enlaces act´an sobre dos proposiciones. u Algunos ejemplos en las que utilizan los t´rminos de enlace son los siguientes e Si estamos en diciembre entonces pronto llegar´ la Navidad a Hoy es lunes y hay clases El viento arrasar´ las nubes o llover´ conseguridad. a a No tendremos clase en el d´ de hoy. ıa

Vamos a simbolizar cualquier proposici´n con las letras p, q, r, s, t, etc.. o La regla fundamental de la l´gica es, o

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La ley del medio excluido. Toda proposici´n debe ser verdadera o falsa, o pero no puede ser ambas cosas, ni puede ser ninguna de las dos cosas.

Vamos a comenzar con algunas proposiciones cuyo valor de verdad esintuitivamente claro. 1. Si p no es cierta, claramente ∼p es verdadera. Si p es cierta entonces ∼p es falsa. (La ley del medio excluido). 2. p ∧ q es verdadera si y s´lo si ambas son verdaderas. o 3. p ∨ q es verdadera si y s´lo si p es verdadera o q es verdadera. o 4. La proposici´n p ⇒ q (p implica q) se conoce como proposici´n condicional; a p se le llama antecedente y a q o o el consecuente.Se acostumbra con esta implicaci´n decir que o p es condici´n suficiente para q; o q es condici´n necesaria para p. o Tambi´n podemos decir que p es la hip´tesis y q es la conclusi´n. e o o Diremos que p ⇒ q es falsa cuando unicamente en el caso donde p es verdadera y q es falsa. ´ La proposici´n q ⇒ p se le llama la rec´ o ıproca de la proposici´n p ⇒ q. o Es necesario que nos demos cuenta de que p⇒ q no garantiza que q ⇒ p. Por ejemplo, x = 3 =⇒ x2 = 9 es verdadera, pero la rec´ ıproca x2 = 9 =⇒ x = 3 es falsa.

PROPOSICION BICONDICIONAL Es la proposi´n expresada s´ o ımbolicamente por p ⇐⇒ q es una combinaci´n de las dos proposiciones condicionales p =⇒ q y q =⇒ p. El s´ o ımbolo de enlace ⇐⇒ se lee “si y o s´lo si”o “necesario y suficiente” La proposici´n p ⇐⇒ q ser´ verdadera si p y qson verdaderas o p y q son falsas. o a Por ejemplo, Un tri´ngulo tiene tres lados iguales ⇐⇒el tri´ngulo es equilatero. a a

INFERENCIA LOGICA
La idea de inferencia se puede expresar diciendo que de proposiciones verdaderas (premisas verdaderas) se obtienen s´lo conclusiones que son verdaderas. Es decir de premisas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de o ellas l´gicamente,...