introduccion a la probabilidad

Introducción a la
Probabilidad II

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Probabilidad condicionada


Se denomina probabilidad de A condicionada a
B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B:

P( B  A)
P( A | B) 
P( B)

E espacio muestral
A
B

P( B  A)  P( B) P( A / B)
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Probabilidad condicionada
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)

Definimos los sucesos
A="sacar 3"
B= {1,3,5};

Consideremos elexperimento de
"lanzar un dado al aire". Calculemos,
por ejemplo, la probabilidad de
obtener un 3 sabiendo que ha salido
un número impar.
Puesto que si sabemos que
ha salido un número impar,
los casos posibles ahora son
3 y los casos favorables al
suceso A sólo 1.

P(A/B)=1/3
3

Probabilidad condicionada
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)

Definimos los sucesos
A: "la suma de los puntos es7"
B: "en alguno de los dados ha
salido un tres".

Se lanzan dos dados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener
una suma de puntos igual a 7?
b) Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál
es la probabilidad de que en alguno de
los dados haya salido un tres?
Los casos posibles al lanzar dos dados son 36
y los casos favorables al suceso A son los seis
siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3);(5,2) y (6,1).
Por tanto, P( A )=6/36=1/6
En este caso, el suceso B/A es salir en algún
dado 3, si la suma ha sido 7.
Observamos que esta situación ocurre en las
parejas (3,4) y (4,3).
Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3
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Ejemplo probabilidad condicionada
¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as
sabiendo que es roja?

Palo

Color
Negro
Rojo

Total

As

22

4

No as

24

24

48

Total

26

26

52

Espacio restringido
P( As  Rojo )
2 / 52
2
P( As | Rojo ) 


P( Rojo )
26 / 52
26

¿Cual es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja
sabiendo que es un as?

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Ejemplo probabilidad condicionada
¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar sea una
mujer sabiendo que es delpartido rojo?

Partidos/sexo

Hombres

Mujeres

Total

Amarillo

145

42

187

Azul

63

37

100

Rojo

40

23

63

Verde

90

60

150

Total

338

162

500

Pmujer  partidoroj o  23 / 500 23
Pmujer / partidoroj o  


P partidoroj o 
63 / 500 63

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Concepto de probabilidad condicionada
A

A

B

B

P(A) = 0,25
P(B) =0,10
P(A∩B) = 0,10

P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,08

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1

P(A|B)=0,8
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Concepto de probabilidad condicionada
A

A

B
B

P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05

P(A|B)=0
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Sistema exhaustivo y excluyente desucesos
Son una colección de sucesos
A1

A2

A1, A2, A3, A4…
Tales que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
¿Recuerda cómo formar intervalos en tablas de
frecuencias?
A1

A3

A4
Suceso
seguro

A2
A3
A4
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Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
Todo suceso B, puede ser descompuesto
en componentes de dicho sistema.
A2A1

B = (B∩A1) U (B∩A2) U (B∩A3) U (B ∩A4)

B
A1

B

Suceso
seguro

B

A4

A4

B

A3

A3

A2

B

Nos permite descomponer el problema B en
subproblemas más simples. Funciona.
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Teorema de la probabilidad total
A2

A1

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los
componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces
… podemoscalcular la probabilidad de B.
P(B|A1)

B

A3

P(A1)

A4

Suceso
seguro

P(A2)
P(A3)

A1
A2
A3

P(A4)
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P(B∩A3 ) + P(B∩A4)

A4

P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)

B
B
B
B

=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …

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Ejemplo de probabilidad total
En un salón el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10%
son fumadores. El 20% de las mujeres son...