introduccion a la robotica

4.4.3 El Lagrangiano
Será entonces:

(4.41)
4.4.4 Ecuación de movimiento de un robot
El Lagrangiano ahora puede diferenciarse con el fin de formar las ecuaciones dinámicas de movimiento. Aunque este proceso no se muestra, las ecuaciones finales de movimiento de un robot en general de multi-ejes se pueden resumir de la siguiente manera:
(4.42)Donde:
(4.43)
Y:
(4.44)
Y:
(4.45)



En la ecuación (4.42), la primera parte son condiciones de aceleración angular-inercia, la segunda parte es el término de la inercia del actuador,la tercera parte es la de Coriolis y términos centrífugos, y la última parte es el término gravedad. Esta ecuación se puede ampliar para un robot de 6 ejes de revolución de la siguiente forma:
(4.46)
Notar que en la ecuación (4.46) hay dos términos con . Los dos coeficientes son y . Ver que estos términos al parecer, vamos a calcular para =5. Desde la ecuación (4.44), paratenemos =5, =1,=2, = 6,=5, y para tenemos i=5, j=2, k=1, n=6, p=5, resultando en:
(4.47)
Y para la ecuación (4.28), tenemos:

(4.48)
Notar que en estas ecuaciones, y son lo mismo. Los índices seutilizan únicamente para aclarar la relación con los derivados. Sustituyendo el resultado en la ecuación (4.48) en (4.47) tenemos que . Claramente, la suma de los dos términos similares se obtiene la correspondiente Coriolis término de aceleración para . Esto es cierto para todos los coeficientes similares en ecuación (4.46). Por lo tanto, podemos simplificar esta ecuación para todas las articulacionescomo sigue:

(4.49)
(4.50)
(4.51)
(4.52)
(4.53)

(4.54)
Sustituyendo los valores numéricos relacionados al robot en estas ecuaciones se obtiene la ecuación de movimiento del robot. Estas ecuaciones pueden mostrar cómo cada término puede afectar la dinámica del robot o si un término en particular es importante o no. Por ejemplo, en la ausencia de gravedad, tal comoen el espacio, los términos de gravedad pueden ser descuidados. Sin embargo, los términos de inercia son importantes. Por otra parte, si un robot se mueve lentamente, muchos términos en estas ecuaciones que se relacionan a aceleraciones centrífugas y de Coriolis que pueden llegar a ser insignificante. En general, el uso de estas ecuaciones, el robot puede ser diseñado adecuadamente y controlado.Ejemplo 4.8
Usando las ecuaciones anteriores, derivar las ecuaciones de movimiento para el brazo robot 2-DOF del ejemplo 4.4, que se muestra en la figura 4.9. Los dos enlaces se supone que son de igual longitud.

Solución: utilizar las ecuaciones anteriores de movimiento para el robot 2-DOF, primero escribimos la matriz A para los dos enlaces, a continuación desarrollamos , , y términos para elrobot. Finalmente, sustituimos los resultados en las ecuaciones (4.49) y (4.50) para obtener las ecuaciones finales de movimiento. Los parámetros de las articulaciones y de enlace del robot son d1=0, d2=0, a1=1, a2=1, , .


De la ecuación (4.27), Q (de revolución) =
De la ecuación (4.28) tenemos
Por lo tanto:
y

yy


De la ecuación (4.36), suponiendo que todos los productos de inercia son cero, obtenemos:

De la ecuación (4.49) y (4.50), para el robot 2-DOF, obtenemos:
(4.55)
(4.56)
De las ecuaciones (4.43), (4.44), y (4.45), tenemos:
Para i=1, j=1,...