Introduccion A La Teoria De Grupos Finitos

Introducci´
on a la teor´ıa
de grupos finitos

por Alberto Garc´ıa Raboso
8 de marzo de 2007

II

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v. 1.0 (26 de agosto de 2001).
v. 1.1 (24 de febrero de 2004): Actualizaci´
on de direcci´
on de correo electr´
onico.
v. 1.2 (8 de marzo de 2007): Correcci´
on de algunas erratas (gracias a Jorge N´
un
˜ez
Pascual). Modificada tabla al final delcap´ıtulo 10 para incluir grupos abelianos (por
sugerencia de Jorge N´
un
˜ez Pascual). Actualizaci´
on de direcci´
on de correo
electr´
onico.
Se puede contactar con el autor en y


´Indice general
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Indice general

III

1 Grupos y subgrupos
1.1. Primeras definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Subgrupos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Teorema de Lagrange
2.1. Clases de un grupo m´odulo un subgrupo . . . . . . . . . . . . .
2.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Producto interno de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Grupos c´ıclicos
3.1.Definici´on de grupo c´ıclico . . . . . . . .
3.2. Propiedades de los elementos de torsi´on
3.3. Corolarios del teorema de Lagrange . . .
3.4. Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . .
3.5. Clasificaci´on de grupos c´ıclicos . . . . .
3.6. Subgrupos de grupos c´ıclicos . . . . . .
3.7. Generadores de grupos c´ıclicos . . . . .
3.8. Imagen homom´orfica de grupos c´ıclicos .
3.9. Automorfismos de gruposc´ıclicos . . . .

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4 Acciones de grupos. Subgrupos normales
21
4.1. El teorema de ´orbita-estabilizador . . . . . . . . . . . . . .. . 21
4.2. Elementos conjugados y clases de conjugaci´on . . . . . . . . . . 23
4.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Grupos cociente y teoremas de isomorf´ıa
29
5.1. Grupo cociente y teorema de correspondencia . . . . . . . . . . 29
5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorf´ıa . . . . . . 30
5.3. Corolarios de los teoremas de isomorf´ıa . . . . .. . . . . . . . . 32
iii

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Indice general

IV

6 Grupos sim´
etricos, alternados y di´
edricos
35
6.1. Permutaciones. Descomposici´on en ciclos disjuntos . . . . . . . 35
6.2. Descomposici´on en transposiciones. Sistemas de generadores de
Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3. Signatura de una permutaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4.Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.5. Estructura de los grupos sim´etricos y alternados . . . . . . . . 41
6.6. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7. Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.8. Grupos di´edricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7 Producto directo ysemidirecto
47
7.1. Producto directo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2. Producto semidirecto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles
8.1. p-grupos y p-subgrupos de Sylow . . . . . . . . .
8.2. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Corolarios de los teoremas de Sylow . . . . . . .
8.4. Grupos solubles . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Grupos abelianos finitos
9.1. Factorizaci´on de elementos de grupos abelianos finitos
9.2. Clasificaci´on de los grupos abelianos finitos . . . . . .
9.3. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Grupos abelianos de orden bajo . . . . . . . . . . . . .

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