Introduccion a la teoria de valores extremos

Introducción

DGVE

El Período de Retorno

Selección de Familias

MPP

Ejemplo

Introducción a la Teoría de Valores Extremos 2. Métodos Estadísticos
Joaquín Ortega Sánchez
Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico

Octavo Congreso Latinoamericano de Sociedades de Estadística Montevideo, Octubre 2008

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Introducción Estimación desde la DGVE El Período de Retorno Selección de Familias Estimadores de Momentos Pesados por Probabilidad Ejemplo

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Recordemos el siguiente resultado:

Teorema
Si existen sucesiones de constantes an > 0, bn ∈ R tales que P(Mn − bn )/an ≤ z) → G(z) (n → ∞) donde G es no-degenerada, entonces G(z) = exp − 1+ξ z −µ σ
−1/ξ

,

definida en {z : 1 + ξ(z − µ)/σ > 0} conµ, ξ ∈ R, σ > 0.

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El teorema anterior sugiere que para valores grandes de n podemos usar la familia DGVE como aproximación del máximo para sucesiones de v.a.i. Aparentemente tenemos que resolver la dificultad de que no conocemos las constantes de normalización. Sin embargo, tenemos P Mn −bn ≤ z ≈ G(z) an

para n grande, o equivalentemente P(Mn ≤ z) ≈ G z − bn = G∗ (z) an

donde G∗ es otra distribución en la familia DGVE.

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Es decir, si podemos aproximar la distribución de (Mn − bn )/an por un miembro de la familia DGVE, también podemos aproximar la distribución de Mnpor un miembro diferente de la DGVE. Como de cualquier manera tenemos que estimar los parámetros de la distribución, es irrelevante que los parámetros de G sean distintos a los de G∗ .

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Ajuste de Máximos Anuales o Método de Bloques En esta clase nos vamos a concentrar en este método deestimación, que puede ser descrito de la siguiente manera. Consideramos una colección de datos que agrupamos en bloques disjuntos de datos consecutivos y de igual longitud. Si el parámetro es el tiempo, cada conjunto contiene la información correspondiente a un período fijo de tiempo, digamos un año. En cada caso se escoge el período para compensar las variaciones internas.

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Por lo tanto los datos originales son X(1) = X1 , . . . , Xs X(2) = X1 , . . . , Xs . . . . . .
(n) (2) (1) (1) (2)

X(n) = X1 , . . . , Xs

(n)

donde suponemos que los vectores (X(i) )n son iid, pero las i=1 componentes de cada vector X(i) pueden ser dependientes. El intervalo de tiempo s se escoge de modoque estas condiciones se satisfagan. La muestra iid para Gθ sobre la cual se hará la inferencia es Mi = max(X1 , . . . , Xs ),
(i) (i)

i = 1, . . . , n.

(1)

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Por ejemplo, en el caso de los datos de Maiquetía sólo tenemos la información de los máximos anuales. En este caso s = 365 ytenemos información desde 1951 hasta 1998 (n = 48). Para los datos de nieve en Carolina del Norte tenemos ´ información de las nevadas ocurridas durante el mes de enero desde 1948 hasta 2000. En este caso s = 31, n = 53.

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Para hacer inferencia sobre la distribución de Mi tenemos dos...