Introduccion a la transformada de laplace

|TAREA 1 - TRANSFORMADA DE LAPLACE |
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|Ecuaciones Diferenciales |
| ||16/04/2012 |
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|Luis Alfonso Valenzuela Vargas |





Transformada de Laplace

Para abordar el tema de la Transformada de Laplace tenemos que abordar eltema de SERIES DE POTENCIA, se puede decir que la transformada de laplace es un caso especial de las series de potencia. Tenemos que:

[pic]Si esto converge el resultado será igual A(x), es decir una función de x.

A esta ecuación le haremos un pequeño cambio, sabemos que esta sucesión depende del valor de n, analizando tenemos que es una función que va de los números naturales hacia los númerosreales. Esto [pic]quiere decir que nosotros tomamos el elemento n de los números naturales y por medio de la función obtenemos un número real. [pic]. Por lo que ahora nosotros escribimos la formula de series de potencias pero de una manera más funcional para lo que viene siendo la transformada de laplace, la cual queda descrita de la siguiente forma: [pic] donde a(n) es una función de (n) yA(x) es una función de x. Para mejor entendimiento de la ecuación anterior, nosotros tenemos una función que depende de (n) y la convertimos a una función de x, [pic], por ejemplo; por decir nosotros tenemos que la función de n sea un 1: a(n)=1 eso sustituyéndolo en [pic], tendríamos que es la suma de n=0 hasta el infinito de 1 por [pic], esto nosotros ya lo identificamos como LA SERIE GEOMETRICA, ysabemos que la serie geométrica converge a: [pic] esto solo si [pic] es decir su valor está entre -1 y 1. Otro ejemplo seria tomar [pic] y nosotros ya sabemos que esto es igual a [pic], [pic] el radio de convergencia de esto es de [pic].

Aquí nosotros trabajamos [pic], por lo que fue una sucesión discreta, ósea tuvimos dominio 1, 2, 3, etc. Pero ignorando los valores que existen entre el 1 y el2 por ejemplo. Así que ahora analizaremos el caso continuo:

Lo que haremos será cambiar la variable n en nuestra formula[pic] , la vamos a sustituir por una variable t la cual será continua, y el intervalo para esta t será de [pic], destacando que ahora entre 1 y 2 hay infinitos valores, los cuales no ignoraremos. Ahora como trabajaremos el caso continuo ya no será una ∑, si no que ahorautilizaremos una integral. Por lo que tenemos la nueva fórmula: [pic], tenemos que destacar que lo que nos acaba de quedar se trata de una integral impropia, por lo que vamos a transformar unas cosas para que sea más fácil de resolver. Sabemos que el resultado de la integral será una función que depende de x, también observamos que estamos integrando con respecto a t y ahí es donde nos surge elproblema de que x seria una constante pero esta elevado a la variable con respecto a la cual estamos integrando. Por lo que transformaremos a x de la siguiente forma: [pic], aplicando propiedades de exponenciales y logaritmos tenemos que [pic] por lo que no estamos alterando a la ecuación al aplicar esa igual. Entonces aplicándolo seria [pic], otra cosa que tendremos que notar seria de que como se tratade una exponencial el valor de[pic] puede ser que está cambiando demasiado rápido con respecto a f(t) ya que su comportamiento seria exponencial y nosotros queremos que converga, por lo que queremos un valor mayor que 0 pero menor que 1 para x y también queremos que sea un valor positivo ya que al ser negativo trabajaríamos con los números complejos y nosotros queremos que el resultado de la...