Introduccion A Las Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Introducci´
on a las ecuaciones
diferenciales ordinarias

Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela
Septiembre 2005

Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centro deAn´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.

Pr´ologo

Estas notas hansido concebidas para ser utilizadas en la parte de Ecuaciones Diferenciales, del curso de Matem´atica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ıa, Geoqu´ımica,
Qu´ımica, Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de los gr´aficos est´a a cargo de los autores.Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Septiembre 2005.

iii

CONTENIDO
Cap´ıtulo 1. Conceptos b´asicos y ecuaciones diferenciales de primer orden.

1

1. Motivaci´on.

1

2. Conceptos b´asicos

3

3. Ecuaciones con variables separables y aplicaciones.

4

4. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones con variables separables.12

5. Ecuaci´on lineal de primer orden.

17

6. Ecuaci´on de Bernoulli.

19

7. Aplicaciones

20

Ejercicios.
Nociones b´asicas y ecuaciones diferenciales de primer orden.

27

Cap´ıtulo 2. Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes.

35

1. Soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea.

35

2. Soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea.

37

3.Aplicaciones

41

Ejercicios.
Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes.
Cap´ıtulo 3. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.

46
49

1. Motivaci´on.

49

2. El m´etodo de eliminaci´on.

52

3. Competencia e interacci´on entre especies.

57

4. Las ecuaciones predador-presa de Lotka y Volterra.

61

5. Secci´on optativa: Uso del computador
para resolver yanalizar ecuaciones diferenciales.

63

Ejercicios.
Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.
v

65

vi

CONTENIDO

Bibliograf´ıa

67

´Indice

69

CAP´ITULO 1

Conceptos b´
asicos y ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este cap´ıtulo es un repaso de cursos previos.
Resoluci´on de ecuaciones diferenciales de primer orden. Revisi´on de los
m´etodos ya estudiados anteriormente.Ecuaciones con variables separables
y reducibles a ´estas.
Aplicaciones de la ecuaci´on diferencial de primer orden: Crecimiento de
poblaciones (exponencial, log´ıstico, limitado). Epidemias. Desintegraci´on
radioactiva. Enfriamiento.

1. Motivaci´
on.

La filosof´ıa [la naturaleza] est´a escrita en ese gran libro que siempre est´a ante
nuestros ojos -el universo- pero no lo podemos entender si noaprendemos
primero el lenguaje y comprendemos los s´ımbolos en los que est´a escrito. El
libro est´a escrito en lenguaje matem´atico y los s´ımbolos son tri´angulos, c´ırculos
y otras figuras geom´etricas, sin cuya ayuda es imposible comprender una sola
palabra; sin ello, uno vaga en un obscuro laberinto.
Galileo Galilei (1564-1642).

La cita anterior ilustra la creencia, popular en la ´epoca deGalileo, de que buena parte
del conocimiento de la naturaleza pod´ıa reducirse a matem´atica. Al final del siglo XVII se
reforz´o este modo de pensar, cuando Newton enunci´o la ley de la gravitaci´on y us´o el naciente
c´alculo para deducir las tres leyes de Kepler del movimiento celeste. A ra´ız de esto muchos
cient´ıficos trataron de “matematizar” la naturaleza. La gran cantidad de matem´atica que...