Introduccion a las suceciones y series numericas

Es obvio que para que una serie converja, los an deben tender a cero, pero esto no es suficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/n, y agrupemos los términos

Cuando m tiende ainfinito, también lo hace la suma final, por lo tanto la serie diverge.
Podemos también deducir algo sobre cuán rápidamente diverge. Usando el mismo agrupamiento de términos, podemos obtener un límitesuperior de la suma de los primeros términos, las sumas parciales.

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y las sumas parciales aumentan como log m, muy lentamente.
Notemos que para descubrir esto, comparamos los términos de la seriearmónica con una serie que sabíamos divergente.
Esto es una prueba de convergencia (también conocida como prueba directa de comparación) que podemos aplicar a cualquier par de series.
* Si bnconverge y |an|≤|bn| entonces an converge.
* Si bn diverge y |an|≥|bn| entonces an diverge.
Existen muchas de tales pruebas, las más importantes de las cuales describiremos en este capítulo.[editar] Convergencia absoluta
Teorema: Si la serie de valores absolutos, , converge, entonces también lo hace la serie
Decimos que tal serie es absolutamente convergente o que converge absolutamente.
Elrecíproco no es cierto. La serie 1-1/2+1/3-1/4... converge, aunque la serie de sus valores absolutos diverge.
Una serie como esta que converge, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmenteconvergente o que converge condicionalmente.
Si una serie converge absolutamente, podemos sumar los términos en cualquier orden que queramos y el límite será siempre el mismo. Si converge una seriecondicional, el cambio de los términos cambia el límite.
De hecho, podemos hacer que la serie converge a cualquier límite que deseemos eligiendo un cambio conveniente. P.ej., en la serie1-1/2+1/3-1/4..., podemos sumar solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos el 1/2, sumamos solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos 1/4,...