Introduccion Y Deduccion

INDUCCION Y DEDUCCION

1. En una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza una diagonal principal. Cu´antos tri´angulos como m´aximo podr´an formarse en total?
Soluci´
on:
Analizaremos ejemplos en los cuales el n´
umero de cuadraditos sea mucho menor.
1 Cuadrado:
...
Al trazar una diagonal principal se forman 2 tri´angulos, es decir:
Total de Tri´angulos = 2 =
1
×(1+1)
Cuadrado

2 Cuadrados por lado:
..

.
..

.

Al trazar una diagonal principal se forman 6 tri´angulos, es decir:
Total de Tri´angulos = 6 =
2
× (2+1)
Cuadrados

3 Cuadrados por lado:
...
..

.
..

.

Al trazar una diagonal principal se forman 12 tri´angulos, es decir:
Total de Tri´angulos = 12 =
3
× (3+1)
Cuadrados

Por lo tanto, el n´
umero de tri´angulos que se forman al trazar una diagonalprincipal en
una hoja cuadrada con n cuadraditos por lado es:
Total de Tri´angulos = n × (n + 1)

Para n = 10, tenemos: Total de tri´angulos = 10(10 + 1) = 10100
Respuesta: al trazar una diagonal principal en una hoja cuadrada y cuadriculada con 100
cuadraditos, se forman como m´aximo 10100 tri´angulos.

1

2. Determinar la suma de todos los

1
 2

 3

 4

 ..
 .

 9
10

elementos de lasiguiente matriz:

2 3 4 · · · 9 10
3 4 5 · · · 10 11 

4 5 6 · · · 11 12 

5 6 7 · · · 12 13 

..
..
..
..
..
.. 
.
.
.
.
.
. 

10 11 12 · · · 17 18 
11 12 13 · · · 18 19

Soluci´
on:
Aplicando inducci´on, tenemos:
1
Suma de elementos de M1×1 = 1 = ( 1 )3
f ila

1 2
2 3
Suma de elementos de M2×2 = 8 = ( 2 )3
f ilas




1 2 3
 2 3 4 
3 4 5
Suma de elementos de M3×3 = 27 = ( 3 )3
filas

Respuesta: la suma de los elementos de M10×10 = (10)3 = 1000.
3. Dado S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + · · · = 625. Calcular n.
n t´
erminos
Soluci´
on:
Aplicando induccin, tenemos:

S1 =
1

S2 =

1
= (1)2
t´ermino
= 4 = (2)2

1+3
2

t´erminos

S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = (3)2
3 t´
erminos
..
.
Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + · · · = (n)2
n

t´erminos
2

Luego, (n)2 = 625 ⇒ n = 25
Respuesta: n = 25, es decir, lasuma de los 25 primeros n´
umeros primos es 625.
4. Dado A = (333 · · · 333)2 .Calcular la suma de sus cifras.
200

Soluci´
on:

cifras

A1 = (3)2 = 9 ⇒ Suma cifras = 9 = 9 ×
1

1
cifra

A2 = (33)2 = 1089 ⇒ Suma cifras = 1 + 0 + 8 + 9 = 18 = 9 ×
2

2
cifras

A3 = (333)2 = 110889 ⇒ Suma cifras = 1 + 1 + 0 + 8 + 8 + 9 = 27 = 9 ×
..
.
A = (333 · · · 333)2 ⇒ Suma cifras = 9 × 200 = 1800
200

3

3cifras

cifras

Respuesta: la suma de las cifras de A = (333 · · · 333)2 = 1800
200

cifras

5. A una reuni´on social asistieron cierto n´
umero de personas. Se contaron 1275 estrechadas
de manos. Cu´antas personas asistieron a la reuni´on?
Soluci´
on:
Primero, analizaremos casos simples:
2 asitentes a la Reuni´on:
N´
umero de saludos = 1 =

1×2
2

3 asitentes a la Reuni´on:
N´
umero de saludos = 3 =2×3
2

4 asitentes a la Reuni´on:
N´
umero de saludos = 6 =

3×4
2

n asitentes a la Reuni´on:
N´
umero de saludos = (n−1)n
2
Luego,

(n−1)n
2

= 1275 ⇒ n(n − 1) = 2550 = 51 × 50

Respuesta: Asistieron 51 personas a la reuni´on.

3

6. Seg´
un el siguiente esquema, de cu´antas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCCION?
I
N
D
U
C
C
I
O
N

C

O
N

D
U

C

I

C

O

D
U

C

I

N

N

C
CI
O

N

U
C
C
I

O
N

C
I

O
N

I
O

N

O
N

N

Soluci´
on:
Como se puede apreciar, la palabra INDUCCION puede ser le´ıda de diferentes maneras,
demasiadas como para contarlas una por una. Por lo tanto, aplicaremos el mtodo inductivo.
Digamos que la palabra a leer es IN (2 letras):
I
N

N

Maneras de leer = 2 = 21
Digamos que la palabra a leer es IND (3 letras):
I
N
D

N
D

D

Maneras de leer = 4= 22
Digamos que la palabra a leer es INDU (4 letras):
I
N
D
U

N
D

U

D
U

U

Maneras de leer = 8 = 23
Para una palabra con n letras, se tiene:
Maneras de leer = 2n−1
Para el caso particular de la palabra INDUCCION (9 letras), tenemos:
Maneras de leer = 29−1 = 28 = 256
Respuesta: la palabara INDUCCION puede ser le´ıda de 256 maneras diferentes.

4

7. De cu´antas maneras diferentes se puede...