Introduccion

CALCULO DIFERENCIAL
Demos a x un incremento ~x; entonces obtenernos para la función
y un incremento ~y, siendo el valor final de la función
(2) y + ~y = f (x + ~x) .
Para hallar el incremento de la función, restarnos (1) de (2); se
obtiene
(3) ~y = f (x + Sx) - f (x)
Dividiendo los dos miembros por ~x, incremento de la variable
independiente, resulta:
(4 )
~y f(x+~x) - f(x)
~x ~x
Ellímite del segundo miembro cuando ~X-70 es, por definición,
la derivada de f( x), o sea, según (1), de y, y se representa por el
dy
símbolo dx. Luego, la igualdad
(A) dy = lím ¡(x + ~x) - ¡(x)
dx 6 X-70 ~x
define la derivada de y ro de f ( x) 1 con respecto a x.
De (4) obtenemos también
dy _ lím ~y.
dx - 6 X-70 ~x
Asimismo , si u es función de t, entonces,
du ~u . dt = 6~í~0 ~t = derIvadade u con respecto a t.
La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación.
25. Símbolos para representar las derivadas. Puesto que l1y y I1x
son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión
es una verdadera fracción. Pero el símbolo
dy
dx
ha de mirarse no como una fracción, sino como el valor límite de una f?"acción.
En muchos casos veremos queeste símbolo sí tiene propiedades de
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DERIVACION 29
fracción, y más adelante demostraremos el significado-que puede atribuirse
a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo ~; ha de considerarse
como conjunto.
Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también
función de x, se emplea también el símbolo J' (x) para representar la
derivada de j(x). Luego,si
podemos escribir la igualdad
y=j(x),
dy = J' (x)
dx '
que se lee "la derivada de y con respecto a x es igual a j prima
de x" El símbolo
d
dx'
considerado por sí mismo, se llama operador derivada; indica que
toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto
a x. Así,
dy d
- (1 - y indica la derivada de y con respecto a x;
dx dx
ix f (x) indica la derivada de j(x) con respecto a x;
d~ (2 x2+5) indica la derivada de 2 x2+5 con respecto a x.
El símbolo y es una forma abreviada de ~~ .
d
El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dx Lllego,
si
y=j(x),
podem-os escribir las identidades
dy d d
y' = - = -y =- j(x) = Dxj(x) = j'(X).
dx dx dx
Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que
t1x~O, la variable es t1x y nox. El valor de x se supone fijo desde
el principio. Para hacer resaltar que x = Xo desde el principio hasta el
fin, podemos escribir:
J' (xo) = Hm j(xo + t1x) - j(Xo)
6x~O t1x
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30 CALCULO DIFERENCIAL
26. Funciones derivables. De la teoría de los límites se deduce
que si existe la derivada de una función para cierto valor de la variable
independiente, la funciónmisma debe ser continua para aquel valor de
la variable.
Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto
funciones que son continuas y, a pesar de eso, no t ienen derivada.
Pero tales funciones no son frecuentes en las Matemáticas aplicadas,
yen este libro se consideran solamente las funciones derivables, es decir,
las funciones que tienen derivada para todos los valoresde la variable
independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados.
27. Regla general para la derivación.
derivada se puede ver que el procedimiento
y = f (x) comprende los siguientes pasos:
Según la definición de
para derivar una función
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIóN
PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x + !::..x, y se
calcula el nuevo valor de la función y + /1y .SEGUNDO PASO . Se resta el valor dado de la función del nuevo valor
y se obtiene /1y ( incremento de la función ) .
TEIWEH PASO. Se divide /1y ( incremento de la función ) por /1x
(1:ncremento de la variable independiente) .
CUARTO PASO. Be calcula el límite de este cociente cuando llx
( incremento de la variable independiente) t'iende a cero. El límite así
hn'uado es la den:vada buscada...