Introducción al Calculo Integral

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAL.
INTEGRAL DEFINIDA
1. Introducción al área
El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida.
Comenzamos con la definición del área de un rectángulocomo la conocida fórmula de largo por ancho y, a partir de esto, de manera sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono.
1. El área de unaregión plana es un número (real) no negativo.
2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas; por ejemplo,pies cuadrados o centímetros cuadrados.
3. Regiones congruentes tienen áreas iguales.
4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan sólo en un segmento de recta es la suma de las áreas delas dos regiones.
5. Si una región está contenida en una segunda región, entonces el área de la primera es menor o igual que el de la segunda.
Cuando consideramos una región con frontera curva, elproblema de asignar un área es significativamente más difícil. Sin embargo, hace más de 2000 años, Arquímedes proporcionó la clave de la solución. Considérese una sucesión de polígonos inscritos queaproximen a la región curva con una precisión cada vez mayor.


Por ejemplo para el círculo de radio 1, considérense los polígonos regulares inscritos PI, P2, P3,... con 4 lados, 8 lados, 16lados, ..., como se muestra en la figura 2. El área del círculo es e l límite cuando n - 00 de las áreas de Pno De esta manera, si A(F) denota el área de una región F, entonces




Notación sigmaNuestro enfoque para determinar el área de una región curva, R,implicará los siguientes pasos:
l. Aproximar la región R por medio de n rectángulos, en donde los n rectángulos tomadosjuntos contengan a Ry produzcan un polígono circunscrito, o bien, que estén contenidos en R y produzcan un polígono inscrito.
2. Determinar el área de cada rectángulo.
3. Sumar las áreas de los n rectángulos.
4....