introducción a la lógica matematica

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Lógica matemática

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
LÓGICA MATEMÁTICA
CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA
La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos
de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o
novalido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar
teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.
DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.
Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complementoreferido al verbo. La
proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué
algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra
minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplos.
p: México se encuentra en Europa.
q: 15 − 6= 9

r: 2x − 3 > 7
s: Los precios de los teléfonos celulares bajarán a fin de año.
t: Hola ¿cómo estás?
w: ¡Cómete esa fruta!
Los enunciados p y q pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto, son proposiciones
validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del
valor asignado a la variable x en determinado momento. Laproposición del inciso s también esta
perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que
terminara el año. Sin embargo, los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de
falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
En general, las proposiciones pueden ser:
•
•
•
•

Simples si sólo tienen un sujeto, unverbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones
Compuestas.
Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado.
Afirmativas o Negativas. Según lo afirmen o nieguen.
Verdaderas o Falsas según correspondan o no a la realidad.

Ejemplos.
h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposición compuesta, cerrada y afirmativa.
j: "Ella no nada muy rápido",es una proposición simple, abierta y negativa.
k: “Cuernavaca no está al norte del D.F. y no hace frío", es una proposición compuesta, cerrada, negativa
y verdadera.
l: 7 + 3 = 10 es una proposición simple, cerrada, afirmativa y verdadera.
m: x 2 ≠ x − 2 es una proposición simple, abierta y negativa.
n: a + b = 6 es una proposición compuesta, abierta y afirmativa.
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS
Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir,
formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son:
•

Conjunción (operador and)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que sedeben cumplir para que se pueda obtener un resultado
verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es ∧ (and).
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero "
Sean:
p: Voy al cine.
q: Hay una buena película.
r: Tengo dinero.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es comosigue:
p = q∧r
Su tabla de verdad es como sigue:
q
1
1
0
0

r
1
0
1
0

p∧r
1
0
0
0

Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que hay una buena película, r=1 significa que tengo dinero y
p=q∧r=1 significa que voy ir al cine. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que
valga cero implica que no asisto al cine.
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