Introducción A La Simulación De Sistemas

74

2.1.

Sistemas Lineales y no Lineales, Periodo 2011-II

Respuestas de Sistemas Lineales en Tiempo Continuo

Ejemplo 2.1.1 Sup´ngase que un sistema y (t) = N [u(t), x(t◦)] tiene las ecuao
ciones:

Cap´
ıtulo 2

x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
y (t) = Cx(t) + Du(t),
donde

Introducci´n a la
o
Simulaci´n de Sistemas
o

A=

01
,
−1 0

B=

0
1

x (t ◦ ) = x ◦ ,
C= 1 0 ,t ≥ t◦
D = [0]

Este sistema se puede representar en diagrama de bloques como se muestra en
la Figura 2.1.

Desarrollamos este tema a trav´s de ejemplos.
e
73

Prof. Fernando Salom´n Merch´n Gordillo
o
a

75

76

Sistemas Lineales y no Lineales, Periodo 2011-II

Figura 2.1: Diagrama de bloques del sistema N .
Figura 2.2: Diagrama de bloques SIMULINK para la simulaci´n delsistema N .
o
La simulaci´n del sistema N en el entorno SIMULINK de MATLAB se
o
realiza empleando el diagrama de bloques de la Figura 2.2.

Se puede probar que este sistema es lineal, de modo que debe satisfacer
la propiedad de superposici´n, lo que verificamos a continuaci´n para un caso
o
o
particular de entradas y vectores de estado iniciales.

Prof. Fernando Salom´n Merch´n Gordilloo
a

77

78

Sistemas Lineales y no Lineales, Periodo 2011-II

El principio de superposici´n consiste en que
o
si yi(t) = N [ui(t), x01(t◦)],
⇒ y3(t) =
=
=
=

i = 1, 2,

N [α1(u1(t), x01(t◦)) + α2(u2(t), x02(t◦))]
N [α1u1(t) + α2u2(t), α1x01(t◦) + α2x02(t◦)]
α1N [u1(t), x01(t◦)] + α2N [u2(t), x02(t◦)]
α1y1(t) + α2y2(t), ∀ αi ∈ R, i = 1, 2

(2.1)

En nuestra comprobaci´nmediante simulaci´n consideramos los siguientes
o
o
valores: α1 = 2, α2 = 3, t◦ = 0
u1(t) = sin(t)
x01(0) = [1, 0]t
u2(t) = cos(t)

x02(0) = [0, 1]t

u3(t) = α1u1(t) + α2u2(t)

x03(0) = α1x01(0) + α2x02(0)

= 2 sin(t) + 3 cos(t)
= [2, 3]t
El diagrama de bloques SIMULINK que empleamos para la simulaci´n es
o
mostrado en la Figura 2.3.
Figura 2.3: Diagrama de bloques SIMULINKempleado para obtener
y1 = N [u1(t), x01(0)], y2 = N [u2(t), x02(0)] y y3 = N [u3(t), x03(0)].

Prof. Fernando Salom´n Merch´n Gordillo
o
a

79

80

Sistemas Lineales y no Lineales, Periodo 2011-II

En este diagrama se han especificado los arreglos (matrices) y1, y2, y3 que son
matrices de dos columnas, la primera de las cuales tiene los valores del tiempo, t,
y la segunda, los valoresde las salidas correspondientes. Luego de la simulaci´n
o
se pueden observar las curvas de y1, y2, y y3 directamente en las ventanas de los
bloques scope. Nosotros hemos empleado los arreglos y1, y2, y y3 para graficar
las salidas escribiendo lo siguiente en la l´
ınea de ´rdenes de MATLAB:
o
plot(y1(:,1),y1(:,2),’*’,y2(:,1),y2(:,2),’x’,
y3(:,1),y3(:,2),’+’,y1(:,1),2*y1(:,2)+3*y2(:,2))grid
xlabel(’tiempo, t’)
text(7.5,-2.5,’y_1(t)’)
text(8,6,’y_2(t)’)
text(6.5,12,’y_3(t)’)
La gr´fica que se obtiene es mostrada en la Figura 2.4.
a
Figura 2.4: Gr´ficas de y1(t) = N [u1(t), x01(0)], y2 = N [u2(t), x02(0)] y
a
o
y3(t) = N [2(u1(t), x01(0))+3(u2(t), x02(0))]. N´tese que y3(t) = 2y1(t)+3y2(t).

Prof. Fernando Salom´n Merch´n Gordillo
o
a

81

Notamos que las curvas dey1, y2, y y3 se han graficado con “*”, “x”, y
ınea suave),
“+”, respectivamente. Adicionalmente se ha graficado 2y1 + 3y2 (l´
la cual pasa por los mismos puntos que la curva y3, de modo que se comprueba
que el sistema N satisface la propiedad de superposici´n representada por la
o
Ecuaci´n 2.1, como se esperaba.
o

82

Sistemas Lineales y no Lineales, Periodo 2011-II

2.2.Linealizaci´n de Sistemas no Lineales
o

Ejemplo 2.2.1 Sea el sistema N de ecuaci´n
o
x 1 (t )
˙
x 2 (t )
˙

=

−1/x2(t)
2
u (t )x 1 (t )

(2.2)

Linealice este sistema alrededor del punto de operaci´n asociado a la trao
o
o
o
yectoria x◦(t) = [x◦1 (t), x◦2 (t)]t, soluci´n de la Ecuaci´n (2.2) con condici´n
inicial x1(0) = x2(0) = 1 y entrada u(t) = 0.

Soluci´n Con las condiciones...