Introducción a la Teoría de Grupos

Introducción a la Teoría de Grupos

Daniel Buitrago

Índice general
1. Preeliminares de Estructuras Algebraicas

1

1.1. Propiedades en una Operación Binaria . . . . . . . . . . 4
1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Grupos
2.1. De…niciones y Propiedades Generales.
2.2. De…nición Formal . . . . . . . . . . .
2.3. Ejercicios . . . . . . . .. . . . . . .
2.4. Propiedades Básicas . . . . . . . . .
2.5. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Subgrupos Normales . . . . .
2.5.2. Otros tipos de subgrupos . . .

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2.6. Homomor…smos e Isomor…smos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7. Producto Cartesiano de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3. Grupos Finitos
55
3.1.Representaciones de Grupos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2. Principales teoremas de la teoría de grupos …nitos . . . . . . . 60
3.2.1. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.3. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
v

vi

ÍNDICE GENERAL
3.3. Grupos Cíclicos . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4. Aplicaciones de los teoremas de grupos …nitos . . . . . . . . . 89
3.4.1. Grupos Abelianos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.2. El Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. Grupos Especiales

95

4.1. El Grupo de Permutación . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 95
4.2. El Grupo Diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3. El Grupo Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4. El Grupo Solucionable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Algunas notas …nales

109

Prólogo
La Teoría de Grupos es un área de laMatemática que cobra cada vez más
relevancia en el quehacer cientí…co actual. Sus aplicaciones a la Física Cuántica, a la Cristalografía, a la Química, a la Biología y a la misma Matemática,
la convierten en una esencial herramienta de investigación. Una de las más
importantes y hermosas características de la Teoría de Grupos es que, como teoría, es autocontenida. De esta manera, para lademostración de las
proposiciones y teoremas no se necesitan argumentos ad hoc, construcciones
"intuitivas" ni acudir a supuestos o resultados de otras áreas o teorías. Todos
los resultados se desprenden completamente de las de…niciones iniciales o de
proposiciones que se deducen de éstas. Convirtiéndola en uno de los cuerpos
lógicos más robustos y sólidos de la Matemática. De ahí el papelfundamental
que ocupa en el Álgebra Abstracta, y en la Matemática moderna, donde ha
demostrado ser un área de investigación aún activa.
La presente obra es una propuesta para exponer la Teoría de Grupos.
Se ha organizado de forma deductiva, partiendo de los resultados generales,
válidos para todos los tipos de grupos y llegando a aquellos resultados especí…cos básicos de cada tipo de grupo particular.Aunque no se alcanzan a
abarcar todos los tipos de grupos, se tocan aquellos cuyo uso es más común
con breves introducciones que pretenden estimular la consulta independiente
del lector interesado. El aporte más novedoso de esta propuesta es el énfasis en la claridad de la explicación de los distintos conceptos. A tal punto,
que en ciertas ocasiones se utilizó una simbología inédita que...