Introducción a la teoría de la probabilidad

Tema 1: Introducci´n a la Teor´ de la Probabilidad
o
ıa

1.

Conceptos B´sicos
a

1.1.

Experimento aleatorio, espacio muestral y suceso

Definici´n (Experimento aleatorio): Un experimento aleatorio es un experimento en
o
el que:
1. Todos los resultados posibles del experimento se conocen de antemano.
2. La realizaci´n del experimento produce un resultado no predecible deantemano.
o
3. El experimento puede ser repetido bajo condiciones id´nticas.
e
Al resultado de un experimento aleatorio lo denotaremos por ω. Al conjunto de todos los resultados posibles del experimento lo denotaremos por Ω.
Definici´n (Espacio muestral): Dado un experimento aleatorio, definimos espacio mueso
tral E como la colecci´n de todos los subconjuntos que se pueden formar con elementos de Ω.o
A cada elemento S ∈ E se le denomina suceso.
Si S = {ω}, entonces se dice que S es un suceso elemental.
N´tese que si Ω es finito, entonces E es finito, y viceversa.
o

1.2.

Operaciones con sucesos
Suceso complementario. S es un suceso, e implica la no ocurrencia de S. S ∩ S = ∅ y
S ∪ S = Ω. Ver Figura 1.
Nota: Ω = ∅ y ∅ = Ω
Uni´n de sucesos. S = S1 ∪ S2 es un suceso, y es laocurrencia de S1 ´ S2 . Ver Figura 2.
o
o
1

Figura 1: S

Figura 2: S1 ∪ S2
Nota: Ω ∪ ∅ = Ω
Intersecci´n de sucesos. S = S1 ∩ S2 es un suceso, y es la ocurrencia de S1 y S2 . Ver Figura
o
3.
Nota: Ω ∩ ∅ = ∅
Diferencia entre sucesos. S = S1 − S2 = S1 ∩ S2 . Es la ocurrencia de S1 y no de S2 . Ver
Figura 4.

1.3.

Relaciones entre sucesos

Definici´n (Sucesos disjuntos): Dada unacolecci´n numerable de sucesos {Sk }k∈K , con
o
o

K ⊆ N diremos que son mutuamente excluyentes o disjuntos si Sk ∩ Sl = ∅, ∀k = l,
k, l ∈ K.
En particular, dos sucesos S1 y S2 son mutuamente excluyentes si se verifica que S1 ∩ S2 = ∅.
2

Figura 3: S1 ∩ S2

Figura 4: S1 − S2
Ver Figura 5.

Figura 5: S1 ∩ S2 = ∅
Definici´n (Sucesos exhaustivos): Dada una colecci´n numerable de sucesos {Sk}k∈K , con
o
o
K ⊆ N diremos que son exhaustivos si

k∈K

Sk = Ω

Definici´n (Implicaci´n de sucesos): Un suceso S1 implica otro suceso S2 cuando S1 ⊆ S2
o
o

3

Como consecuencia de lo anterior, si S1 implica S2 , entonces S1 ∩ S2 = S1 . Ver Figura 6.

Figura 6: S1 ⊆ S2

2.

Probabilidad

Definici´n (Probabilidad): Dado el espacio muestral E, si la funci´n P : Ω → R verifica:
oo
1. P (S) ≥ 0, ∀S ∈ E
2. P (Ω) = 1
3. Para cualquier colecci´n numerable de sucesos de E, {Sk } mutuamente excluyentes,
o
entonces P (

Sk ) =

P (Sk ) (es decir, P es numerablemente aditiva).

entonces diremos que P es una medida de probabilidad, o simplemente probabilidad.

2.1.

Propiedades de la probabilidad

Como consecuencia de la definici´n anterior, se pueden derivar lassiguientes propiedades de la
o
probabilidad:
1. Si S1 , S2 ∈ E con S1 ⊆ S2 , entonces P (S1 ) ≤ P (S2 )
2. P (S) ≤ 1, ∀S ∈ E
3. P (S) = 1 − P (S), ∀S ∈ E
4. P (∅) = 0

4

5. P (S1 ∪ S2 ) = P (S1 ) + P (S2 ) − P (S1 ∩ S2 ), ∀S1 , S2 ∈ E. En general, dados S1 , . . . , Sn ∈ E,
se verifica que P (

Si ) =

P (Si )−

P (Si ∩Sj )+

P (Si ∩Sj ∩Sk )−· · ·+(−1)n+1 P (S1 ∩

S2 ∩ · · · ∩Sn ).

2.2.

Probabilidad condicionada

Definici´n (Probabilidad condicionada): Dados A, B dos sucesos con P (B) > 0. Se define
o
la probabilidad de A condicionada a B como
P (A|B) =

P (A ∩ B)
P (B)

La probabilidad de A condicionada a B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B ha
sucedido.
Con la definici´n de probabilidad condicionada podemos hallar la probabilidad de laintersecci´n,
o
o
ya que P (A ∩ B) = P (A|B)P (B).
La definici´n de la probabilidad condicionada se puede aplicar de forma recursiva dando lugar
o
a la denominada regla de la multiplicaci´n.
o
Regla de la multiplicaci´n: Dados los sucesos A1 , . . . , An tales que P (A1 ∩A2 ∩· · ·∩An ) >
o
0, entonces
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P (An |A1 ∩ ·...