Introducción A Los Métodos Numéricos

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y Aproximación
Algoritmos
Se denomina algoritmo a un grupo finito de operaciones organizadas de manera lógica y ordenada que permite solucionar un determinado problema. Los algoritmos permiten trabajar a partir de un estado básico o inicial y, tras seguir los pasos propuestos, llegar a una solución. Cabe resaltarque, si bien los algoritmos suelen estar asociados al ámbito matemático (ya que permiten averiguar el cociente entre un par de dígitos o determinar cuál es el máximo común divisor entre dos cifras pertenecientes al grupo de los enteros), aunque no siempre implican la presencia de números.
Existen ciertas propiedades que alcanzan a todos los algoritmos, con excepción de los denominados algoritmosparalelos: el tiempo secuencial (los algoritmos funcionan paso a paso), el estado abstracto (cada algoritmo es independiente de su implementación) y la exploración acotada (la transición entre estados queda determinada por una descripción finita y fija).
En general solo existen 3 elementos en los algoritmos:
Entrada. Los datos iniciales que posee el algoritmo antes de ejecutarse.
Proceso.Acciones que lleva a cabo el algoritmo.
Salida. Datos que obtiene finalmente el algoritmo.
Ejemplos
1.- Calcular el área de un rectángulo.
Entrada de datos: (altura, base)
Proceso: (Cálculo del área = base x altura)
Salida de datos:(base, altura, área)

2.- Suma de 2 números
 variables
    entero a, b, suma
 inicio
    escribir( "Introduzca primer número (entero): " )
    leer( a )
   escribir( "Introduzca segundo número (entero): " )
    leer( b )
   suma ← a + b
    si ( suma > 0 )
       escribir( "LA SUMA SÍ ES MAYOR QUE CERO." )
    si no
       escribir( "LA SUMA NO ES MAYOR QUE CERO." )
    fin.
1.2.1 Aproximaciones
Una aproximación usualmente se realiza cuando una forma exacta o un valor numérico exacto es desconocido o difícil de obtener. Sin embargo,puede conocerse alguna forma, que sea capaz de representar a la forma real, de manera que no se presenten desviaciones significativas. También se utiliza cuando un número es irracional, como el número π, en cuyo lugar muchas veces se emplea el 3.14, √7 como ≈ 2.65.2 Las aproximaciones numéricas a veces son efecto del uso de una cantidad pequeña de dígitos significativos.
Existen varios tipos deaproximaciones según sea el caso:
Aproximación de valores numéricos
Entre las formas más comunes de aproximación se cuenta la representación de un número irracional por medio de un número con un número finito de decimales, así como el redondeo de algún número a otro con menos decimales. Por ejemplo:

La aproximación diofántica se dedica a la aproximación de números irracionales por mediode números racionales.
Aproximación de funciones
El ajuste de curvas puede entenderse como un problema de aproximación, donde los datos disponibles acerca del aproximado son muy parciales. Un caso muy conocido es el del método de los mínimos cuadrados, en el que se busca una recta que se ajuste óptimamente a una serie de puntos dados. En este caso, el conjunto de aproximantes es el de las rectas,mientras que como distancia se considera la raíz de la suma de los cuadrados de las diferencias en los puntos mencionados.
Aproximaciones geométricas
El método de los isoperímetros de Arquímedes para obtener la longitud de la circunferencia, considerando polígonos regulares inscritos, empieza con el triángulo equilátero, el siguiente un hexágono regular; el dodecágono, el de 24 lados, de 48 de96...Se toma una sucesión de polígonos regulares circunscritos que se aproximan, iniciando con el de 3 lados, de 6... Así sucesivamente, duplicando los lados del siguiente.
Los que se aproximan son los perímetros de los polígonos. La primera es una sucesión creciente acotada superiormente, y la segunda decreciente, acotada inferiormente.
1.2 Tipos de errores: error absoluto, error...