introducion al simbolismo logico

Extracto del libro: “INTRODUCCIÓN AL SIMBOLISMO LÓGICO”
de Jorge Bosch


Proposiciones y valores de verdad

Definición: Proposición es toda sucesión de palabras de la cual tenga sentido afirmar que sea verdadera o falsa.
Ejemplos:
a) El pizarrón es redondo..
b) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
c) Manuel Belgrano se cortó el pelo un sábadonublado.

En cambio no son proposiciones las siguientes:
a) ¿Hace frío?
b) El libro sirve para.
Las dos últimas no son sucesiones de palabras que carezcan de sentido; lo que carece de sentido es decir que son verdaderas o falsas.

Dada una proposición nos preguntamos si es verdadera o falsa. Si es verdadera diremos que su valor de verdad es V y si es falsa diremos que su valor de verdad esF.

Definición: Los valores de verdad de las proposiciones son V o F. Una proposición tiene el valor de verdad V si es verdadera y F si es falsa.

Representación simbólica de proposiciones
En álgebra se usan letras para representar números: x, y, z. En lógica usaremos letras como p, q r, etc para representar proposiciones.

P = “El pizarrón es redondo”

V(p) indicará el valor de verdadde p

V(p) = F

Operaciones con proposiciones

Definición: Se llama conjunción o producto lógico de las proposiciones p, q, dadas en ese orden, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra “y”.
Notación : p  q

Ejemplo: p = “El pizarrón es azul”
q = “5 es un número primo”
r = “El pizarrón es azul y5 es un número primo”

p  q = r, r es una proposición . podemos afirmar que V(r) = F.

Definición: Se llama disyunción o suma lógica de las proposiciones p, q, dadas en ese orden, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra “o”.

Notación : p  q

Ejemplo: s = “el pizarrón es azul o 5 es un número primo”
p q = s, s es una proposición.
Podemos afirmar que V(s) = V


Definición: Se llama negación de la proposición p a la proposición que se obtiene colocando la palabra “no” y enunciando a continuación la proposición p,

Notación:  p

Ejemplo: No el pizarrón es redondo.
El pizarrón no es redondo
. V(p) = V

Conectivoslógicos: Son las partículas gramaticales “y”, “o”, “no” y sus símbolos lógicos correspondientes (, , ).


Valores de verdad de los resultados de las operaciones

Definición :El valoe de verdad de  p es siempre distinto del valor de verdad de p.

Definición : El valor de verdad de p  q es V si los valores de verdad de p y de q son ambos V y V(p  q) = F en todos los otroscasos.

Definición : El valor de verdad de p  q es F si los valores de verdad de p y de q son ambos F y V(p  q) = V en todos los otros casos.

Las definiciones dadas pueden expresarse mediante las correspondientes tablas de verdad.









Relaciones lógicas:

I. La implicación

El concepto específico de la lógica y de la matemática es el concepto de deducción oimplicación.

Definición: Se dice que la proposición p implica la proposición q, o que q se deduce de p, si no se verifica que p sea verdadera y q falsa.
Notación: p  q

p es el antecedente de la implicación
q es el consecuente de la implicación

La definición dada puede expresarse mediante su tabla de verdad

p
q
p  q
V
V
V
F
V
V
VF
F
F
F
V

Nota: Usaremos como expresiones equivalentes la implicación y el condicional.

Ejemplo: Si 2+ 2 = 4 entonces la luna es redonda.
p = “2+2 = 4”
q = “La luna es redonda”
p  q

Otras formas de leer p  q

Si p entonces q.
Se cumple q si se cumple p.
Si se da p entonces se da q....