Intruduccio a trasformaciones lineales

Introducción a las transformaciones lineales
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntoscon una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones sellamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Sedenomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en elálgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversasramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
1.1Definición de transformación lineal y sus propiedades
Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función 

 tal que:
i)  , 
ii)  

, 

, 
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.Observaciones:
i) Si 

 es una transformación lineal, entonces  

En efecto

Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Estehecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)


 es lineal si y solo si

,

,

.
Si T lineal, entonces

. Inversamente, supongamos que

,
,
. Probemos las dos condiciones...