Inv De Matematica

Nombre: Kenia Morocho Salazar Prof.: Ing. Roberto Valverde
Curso: “C” Fecha: 07/Julio/15.

Integrales binómicas
   Se trata de integrales de la forma:

Que incluye integrales de raícescuadradas (p = 1/2), de raíces cúbicas (p = 1/3), etc.. Nosotros por comodidad al referirnos a ellas, vamos a hablar de dos tipos:
 
Obsérvese que las integrales de tipo I son las de tipo general perocon a=b=n=1.   Toda integral binómica tipo general debe ser transformada a binómica tipo I para ser integrada.
  En concreto, toda integral binómica tipo general se convirte en tipo I con el cambio:
bxn = a t
Esto lo vamos a ver con un ejemplo, tranformemos a tipo I  la integral:

para ello hacemos el cambio:  
ahora despejamos x y hallamos dx:

y sustituimos en la integral:

donde hemos extraidoun 2 del parentesis (2 + 2t)¹/², la integral es de tipo I.

*  Forma de integrar una integral binómica tipo I.
 
  Se procede según los exponentes a y b sean números enteros o no , de acuerdo a lostres casos:
  i) b: entero. Entonces se desarrolla el binomio de Newton,  y se desarrolla en integrales inmediatas.
  ii) b=p/q (no entero),  a: entero. En este caso se utiliza el cambio:

siendo elexponente de z el denominador del cociente p/q.
  iii) b=p/q (no entero),  a: no entero, pero a + b: entero, en este caso se multiplica y divide a la integral por , entonces ésta puede ser expresada:

y acontinuación se realiza el cambio:
 
siendo el exponente de z, al igual que ántes, el denominador del cociente p/q.
Veamos algunos ejemplos:
  Ejemplo 26:  Hallemos la integral indefinida:

 Solución:  Se trata del ejemplo que hemos comenzado anteriormente, y que como hemos dicho, con el cambio , queda transformada en integral tipo I:

Esta integral tiene la forma del caso (ii) b=1/2 (noentero),  a=2 (entero), por lo tanto el cambio indicado es:
1 + t = z² 
Es decir,   ,  con lo que la integral se convierte en inmediata:

finalmente sustituiremos el valor de z, y en éste el valor de t:...