Inv. De Operaciones

Clase # 13

Ya vimos que ocurría cuando se
presentaban variaciones de los
recursos bi .

Análisis de
sensibilidad (2)

¿Cómo se afectan la función
objetivo y la solución óptima,
cuando cambian los coeficientes de
las variables de decisión cj en la
función objetivo?
13-1

Los cambios en los coeficientes de
costos cj requieren un análisis según
sean:
Variables
básicas

13-21.Cambios en los coeficientes de una V.N.B
En la tabla óptima:

1
0

Variables no
básicas

cB B-1 A - c cB B-1 cB B-1 b
B-1 A

B-1

B-1 b

Único elemento que cambia
será cj (la componente j de c)
1 3-3

Intervalo permitido para
permanecer óptima.

13-4

Cuando Xj es una V.N.B, la tabla sigue
siendo óptima mientras
zj - cj ≥ 0

Cuando se varía sólo un parámetro cj altiempo, es posible encontrar un
intervalo de valores permitidos para
que tanto la solución como la función
objetivo permanezcan óptimas.

sigue

( zj es la componente j de z= cBB-1A)

zj permanece constante
aunque cj cambie.
13-5

13-6

1

•Ya que ∆ ≤ zj – cj , el máximo
incremento de valor que puedo
subir la utilidad unitaria de la
actividad j, será zj - cj , para que lasolución permanezca óptima.

Si hacemos cj = cj + ∆

zj - cj ≥ 0

zj - (cj + ∆ ) ≥ 0
∆≤

•Si ∆ ≥ zj - cj , Xj debe entrar a la
base (la solución actual dejaría de
ser óptima).

zj - cj
sigue

13-7

• zj - cj es el valor mínimo en el cual debe

•Se puede hacer un pivote a partir
de la tabla óptima para conocer la
nueva solución.

aumentarse la utilidad de la actividad j
paraque se vuelva atractiva, o lo que es lo
mismo, el valor mínimo en el que debe
reducirse su costo para ser atractiva.

•Mientras ∆ ≤ zj - cj , no cambian
ni la solución, ni el valor de Z actual
(función objetivo actual).

• Por eso
reducido

13-9

2.Cambios en los coeficientes de una V.B

0

B-1

se denomina costo

•Para el problema de la Wyndor ninguna
actividad (X1,X2) es nobásica.

1

cB B-1 A - c cB B-1 cB B-1 b
B-1 A

zj - cj

13-10

Hay que tener cuidado porque al
cambiar un elemento cj se pone en
riesgo la optimalidad del problema
(cambia el renglón cero )

En la tabla óptima:
1

13-8

cB B-1 A - c cB B-1 cB B-1 b
B-1 A

0

B-1 b

1

B-1

0

13-11

0
0

0
0

0
0

Elementos que cambian (aunque se garantiza que
cB B-1A - c = 0 , para las V.B) . Se requiere que los
zj - cj ≥ 0 y los cB B-1 ≥ 0 . La función objetivo
cB B-1 b puede tomar cualquier valor.

0
1

1
0

B-1 b

0 3/2 1 36
1 1/3 -1/3 2
0 1/2 0
6
0 -1/3 1/3 2

13-12

2

Por ejemplo si variamos c2 = c2 + ∆

Intervalo permitido para
permanecer óptima.

x3 x2 x1
cB B-1 = 0 5+∆ 3

Ilustremos este procedimiento con el ejemplode la Wyndor.

1 1/3 -1/3 =
0
0 1/2 0

3/2+∆ /2 1

0 -1/3 1/3
x

Recordemos que x B = x 3
2
z= cB B-1 A = 0 3/2+∆ /2 1 1
0

sigue

c=
cB B-1 A

3

5 +∆

-

3

5 +∆

cB B-1 A

-c

cB B-1

=0
z1 -c1

0

0

∆ ≥ -3

13-14

5 +∆ ≥ 2

En este caso c2 ≥ 2

= 00

X1 X2 X3

3 5 +∆

sigue

Si 3/2+∆ /2 ≥ 0

3

2

13-13

5 +∆

-c=

0=
23

x1

X4

X5

3/2+∆ /2

1

y2

y3

z2 -c2 y 1

Calculemos Z

Z= cB B-1 b = 0 3/2+∆ /2 1 4

= 36 + 6 ∆

12
18

La solución sigue siendo óptima si 3/2+∆ /2 ≥ 0

13-15

Ahora bien si variamos c1 = c1 + ∆
x3 x2 x1
cB B-1 = 0 5 3 +∆

1 1/3 -1/3 =
0
0 1/2 0

cB B -1 ≥ 0
∆ ≤ 4.5

3 +∆ ≤ 7.5

∆ ≥ -3

3 +∆ ≥ 0

En este caso 0≤ c2 ≤ 7.5

Similarmente comose procedió con c2

-c=

3/2 - ∆ /3 ≥ 0
1 + ∆ /3 ≥ 0

3/2- ∆ /3 1+ ∆ /3
∆
∆

0 -1/3 1/3

cB B-1 A

13-16

Calculemos Z

Z= cB B-1 b = 0

00

sigue

3/2- ∆ /3 1+ ∆ /3
∆
∆

4
12

= 36 + 2 ∆

18
13-17

13-18

3

Si se permanece dentro de los
límites del análisis de sensibilidad

Cambio en

Base

Solución

Cuando el problema tiene sólo 2
variables...