Inversa de una matriz

Matriz Inversa
Primero que nada debemos conocer lo que es un numero inverso
Un número inverso es la división de un número entre sí mismo, que multiplicado por sí mismo, nos resulta 1.
Ejemplo
La inversa del 4 sería:
4⁻ ¹ = ¼ ( se lee cuatro a la inversa es igual a un cuarto)
(4)(¼) = 1
A este se le conoce como su número inverso,el inverso de 4.

Una matriz es creada para solucionar un problema, el punto es encontrar el valor de sus distintas incógnitas.
Para el cálculo de la inversa de una matriz es necesario que la matriz sea cuadrada y su determinante sea distinto a cero, si la matriz tiene una determinante distinta a cero, se puede decir que si tiene inversa.
Hemos visto que este sistema se puede escribir enforma matricial del siguiente modo: A X = B. La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión n x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz X es una matriz columna, de dimensión n x 1, formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz B es otra matriz columna, de dimensión n x 1, formada por los términos independientes. Es decir:

Ahora al obtener lainversa y multiplicarla por la ecuación matricial obtenemos el valor de las incógnitas:

Entonces:
El producto de una matriz cuadrada, [A] y su inversa [A]-1 da como resultado la matriz identidad [I]:
[A] [A]-1 = [A]-1[A] = [I]

La inversa de una matriz se puede calcular por dos métodos:
* Calculo de matriz inversa por determinantes
* Cálculo de la matriz inversa por el método deGauss
Teniendo la misma finalidad que es encontrar la inversa, para dar solución a las incógnitas.
Calculo de matriz inversa por determinantes

Calculamos la determinante de la matriz

1. Calculamos determinante de A

det A= (a₁₁ x a₂₂ ) – ( a₂₁ x a₁₂ )
Si el determinante de A es distinta a cero, podremos continuar.

2. Calculamos la matriz adjunta de A

Para calcular laadjunta de una matriz es necesario saber si la suma de la ubicación (i+j) del cofactor aij, es par se le agrega a su determinante signo positivo, y si es impar se le agrega signo negativo
a₁₁= + a₂₂

a₁₁ ₁ + ₁ = es par, por lo tanto se le agrega signo positivo a su determinante

a₁₂= - a₂₁

a₁₂ ₁ + ₂ = es impar, por lo tanto se le agrega signonegativo a su determinante

= -

a₂₁ ₂ + ₁ = es impar, por lo tanto se le agrega signo negativo a su determinante


a₂₂= + a₁₁

a₂₂ ₂ + ₂ = es par, por lo tanto se le agrega signo positivo a su determinante


Por lo tanto la Adjunta de A es:


Ya que tenemos la adjunta calculamos su transpuesta.
El cálculo de la transpuesta consiste envoltear la ubicación del cofactor, donde: aij toma el valor de aji
a₁₁ = a₁₁ a₂₂ = a₂₂
a₁₂ = a₂₁ =
a₂₁ = a₁₂ =
a₂₂ = a₂₂ a₁₁ = a₁₁
Vemos que los valores de la diagonal principal se conservanPor lo tanto la transpuesta de la adjunta es:

Ya que tenemos todos los elementos necesarios los sustituimos en la fórmula para calcular la inversa de la matriz A

Ya teniendo la inversa la multiplicamos por los términos independientes de la matriz B
La matriz B como lo dijimos al principio es la matriz que se le agrega a la matriz A para ser Matriz ampliada. Son los resultados de cadaecuación.
Valor de X = ()(B)

Ejemplo real
Una empresa produce tres productos diferentes los que procesa en tres maquinas diferentes. El tiempo que necesita cada maquina para procesar una unidad de cada producto A, B y C. Esta dada por la siguiente tabla:
Maquinaria | Producto |
| A | B | C |
M1 | 3 hrs | 1 hrs | 2 hrs |
M2 | 1 hrs | 2 hrs | 4 hrs |
M3 | 2 hrs | 1 hrs | 1 hrs |

La...