Inversa De Una Matriz

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Temas y Actividades Matemática

Matemática

4° año secundario

La inversa de una matriz, diferentes métodos de obtención
Vamos a mostrarte algunos de los métodos que te permiten calcular la inversa de una matriz. En cada uno de los métodos te lo mostraremos con una matriz de 2*2 y con otra de 3*3. Los métodos que estudiaremos son: Por definición Método deGauss-Jordan Por determinantes Con Excel

1. Método por definición:
Si el producto entre dos matrices resulta la matriz identidad, entonces decimos que las matrices son “inversas”; ya que al multiplicarlas se obtiene el elemento neutro para el producto. Sea la matriz A, tal que AB = In = BA. Por ejemplo, consideremos una matriz de 3 2 2*2: A =   al multiplicarla por su inversa, obtenemos la matrizidentidad. 1 4 Es decir, 3.a + 2c = 1  3 2 a b  1 0 3.b + 2.d = 0 * = → Ahora, tenemos que resolver el sistema, 1 4 c d  0 1       1.a + 4.c = 0 1.b + 4.d = 1  es decir debemos encontrar los valores de “a, b, c y d.”

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Procedamos: primero asociemos las ecuaciones dea dos, juntemos las dos ecuaciones que tienen “a ” y “ c”; 3.a + 2.c = 1 Despejemos por ejemplo la “a” en la primera ecuación:  1.a + 4.c = 0
1 3  (1) c = − a Y la reemplazamos en la segunda ecuación. 2 2  1 3  1.a + 4 − a  = 0 Aplicamos propiedad distributiva, 2 2 
1.a. + 2 − 6a = 0 Asociamos y despejamos la “a”

2 obtenido este valor podemos hallar el correspondiente a la “c”, 5sustituyendo en (1):
− 5a = −2 → a =

c=

1 3 1 1 3 2 − .  → c = − → c = − 2 5 10 2 2 5

En forma análoga trabajemos con las dos ecuaciones que tienen “b” y “d” 3.b + 2d = 0 3b  3b  →d = − (*) → 1.b + 4. −  = 1 → 1.b − 6b = 1 → − 5b = 1  2  2 1.b + 4.d = 1 1 →b = − 5 Valor que nos permite calcular a “d” reemplazando en la ecuación marcada por (*):  −1 3  3 5 d = −   →d= 2 10 En consecuencia, obtuvimos los siguientes valores: 2 1 1 3 a= ; b=− ; c=− y d = que reemplazando: 5 5 5 10

 2 a b   5 A−1 =  =  c d  − 1  10

1 −  5 ¡es la matriz buscada! 3   10 

Te dejamos como actividad “comprobatoria” que realices la multiplicación AxA-1  2 − 2 2 Ahora trabajemos con una matriz de 3*3: A = 2 1 0    3 − 2 2  

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN Partimos de la misma hipótesis que en el caso anterior: Sea la matriz A, tal que AA-1 = In = A-1.A

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 2 − 2 2  a b 2 1 0 *  d e     3 − 2 2  g h   

c  1 0 0 f  = 0 1 0     i  0 0 1    

Como se trata de tres incógnitas te sugerimos trabajar de la siguiente manera, primero las tres filasde A con la primera columna de B:

2.a − 2d + 2 g = 1  2.a + 1d − 0 g = 0 ⇒Asociemos las ecuaciones de a dos, y las restamos para 3.a − 2d + 2 g = 0  eliminar una de las incógnitas, por ejemplo primera y segunda ecuaciones.  2 a − 2d + 2 g = 1    2a + 1d = 0 1 + 3d ⇒g = (*)  4  − 3d + 2 g = 1    Asociemos primera y tercera ecuaciones.  2 a − 2d + 2 g = 1  −   3a − 2d + 2 g = 0⇒ a = −1  =1  − 1a    Al reemplazar “a” en la segunda ecuación podremos calcular “d” ⇒ 2.(−1) + d = 0 ⇒ d = 2 Al reemplazar este último valor obtenido en la ecuación indicada por (*) obtenemos el valor de “g” 1 + 3d 1 + 3 .2 7 g= =⇒ ⇒g = 4 4 2
Ahora multipliquemos todas las filas de A con la segunda columna de B: 2 − 2 2  a b c  1 0 0  2 1 0  *  d e f  = 0 1 0         3 − 22   g h i  0 0 1        El sistema formado es:

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2b − 2e + 2h = 0  ⇒Despejamos la “e” de la segunda ecuación ⇒ e = 1 − 2b 2b + e = 1 3b − 2e + 2h = 0  Asociemos primera y tercera ecuación, si las restamos… − 1b = 0 ⇒ b = 0 , en consecuencia podemos decir que e = 1 − 2.0 ⇒ e...