Inversa generalizada

Inversa generalizada
Una inversa generalizada de una matriz X es una matriz que X  satisface la condición:

XX  X  X
La inversa generalizada no es única, a menos que X sea cuadrada y de rangocompleto, en
cuyo caso X   X 1
Teorema: si X es de n  p , cualquier inversa generalizada X  es de p  n
Los siguientes pasos permiten encontrar la inversa generalizada de X matriz de n  p derango r:
1. Encontrar una submatriz C de tamaño (r  r ) no singular, de la matriz X



t

2. Encontrar C 1 y C 1 .



t

3. Remplazar C en X con X 1 .
4. Remplazar las demásentradas con ceros.
5. Transponer la matriz resultante.

2 4 2 
Ejemplo: Sea A  1 0  1 una matriz singular de rango r=2. Calcula su inversa


3 1 2 


generalizada.
1. Encontraruna submatriz C de tamaño (r  r ) no singular, de la matriz X

 2 4
C

1 0 



t

2. Encontrar C 1 y C 1 .

1
0
0 1 / 4 
1 t
C 1  

y C

1 / 4 1 / 2
1 1/ 2





t

3. Remplazar C en X con C 1 .

0 1 / 4 2 
1 1 / 2  1


3 1
2



4. Remplazar las demás entradas con ceros.

0 1 / 4 0 
1 1 / 2 0


0 0 0 

5. Transponer la matriz resultante.

1 0
0
1 / 4 1 / 2 0


0
0 0


Por lo tanto, una inversa generalizada de X es:

1 0
0
1 / 4 1 / 2 0
X 

0
0 0


1

Pueden existir varias inversas generalizadas. En función del número de submatrices que se
puedan obtener de una matriz, será el número de inversas generalizadas que se pueden
calcular.Propiedades de la inversa generalizada.
1. X  X y XX  son idempotentes.
2. r XX   r X  X  r .



3.

X 

t



   X 

es una inversa generalizada de X t , entonces, X t

4. X  X Xt X







 X X y X


t

t







t



 Xt X Xt X Xt









5. X X t X X t es simétrica, tiene rango r y es invariante a la...