Inversa_matriz

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4° año secundario

La inversa de una matriz, diferentes métodos
de obtención
Vamos a mostrarte algunos de los métodos que te permiten calcular la inversa de
una matriz. En cada uno de los métodos te lo mostraremos con una matriz de 2*2
y con otra de 3*3.
Los métodos que estudiaremos son:
Por definición
Método de Gauss-Jordan
Pordeterminantes
Con Excel

1. Método por definición:
Si el producto entre dos matrices resulta la matriz identidad, entonces decimos
que las matrices son “inversas”; ya que al multiplicarlas se obtiene el elemento
neutro para el producto.
Sea la matriz A, tal que AB = In = BA. Por ejemplo, consideremos una matriz de
3 2
2*2: A = 
 al multiplicarla por su inversa, obtenemos la matriz identidad.1 4
Es decir,
3.a + 2c = 1

3 2 a b  1 0 3.b + 2.d = 0
*
=
→
1 4  c d  0 1 1.a + 4.c = 0 Ahora, tenemos que resolver el sistema,

 
 
 
1.b + 4.d = 1
es decir debemos encontrar los valores de “a, b, c y d.”

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Procedamos: primero asociemos las ecuaciones de a dos, juntemos lasdos
ecuaciones que tienen “a ” y “ c”;
3.a + 2.c = 1
Despejemos por ejemplo la “a” en la primera ecuación:

1.a + 4.c = 0
1 3

(1) c = − a Y la reemplazamos en la segunda ecuación.
2 2

1 3 
1.a + 4 − a  = 0 Aplicamos propiedad distributiva,
2 2 
1.a. + 2 − 6a = 0 Asociamos y despejamos la “a”

2
obtenido este valor podemos hallar el correspondiente a la “c”,
5
sustituyendo en (1):
− 5a =−2 → a =

c=

1 3
1
1 3 2
− .  → c = − → c = −
2 5
10
2 2 5

En forma análoga trabajemos con las dos ecuaciones que tienen “b” y “d”
3.b + 2d = 0
3b
 3b 
→d = −
(*) → 1.b + 4. −  = 1 → 1.b − 6b = 1 → − 5b = 1

2
 2
1.b + 4.d = 1
1
→b = −
5
Valor que nos permite calcular a “d” reemplazando en la ecuación marcada por
(*):
 −1
3 
3
5
d = −   →d =
2
10
En consecuencia, obtuvimoslos siguientes valores:
2
1
1
3
a= ; b=− ; c=− y d =
que reemplazando:
5
5
5
10

 2

a
b


A−1 = 
= 5

 c d  − 1
 10

1
− 
5 ¡es la matriz buscada!
3 

10 

Te dejamos como actividad “comprobatoria” que realices la multiplicación AxA-1
 2 − 2 2
Ahora trabajemos con una matriz de 3*3: A = 2 1 0
3 − 2 2

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Partimos de la misma hipótesis que en el caso anterior:
Sea la matriz A, tal que AA-1 = In = A-1.A

 2 − 2 2  a b
2 1 0 *  d e

 
3 − 2 2  g h

c  1 0 0
f  = 0 1 0
i  0 0 1

Como se trata de tres incógnitas te sugerimos trabajar de la siguiente manera,
primero las tres filas de A con la primera columna de B:

2.a − 2d + 2 g = 1

2.a + 1d −0 g = 0 ⇒Asociemos las ecuaciones de a dos, y las restamos para
3.a − 2d + 2 g = 0

eliminar una de las incógnitas, por ejemplo primera y segunda ecuaciones.
 2 a − 2d + 2 g = 1


 2a + 1d = 0
1 + 3d
⇒g =
(*)

4
 − 3d + 2 g = 1



Asociemos primera y tercera ecuaciones.
 2 a − 2d + 2 g = 1
 −

 3a − 2d + 2 g = 0
⇒ a = −1

=1
 − 1a



Al reemplazar “a” en la segunda ecuaciónpodremos calcular “d”
⇒ 2.(−1) + d = 0 ⇒ d = 2
Al reemplazar este último valor obtenido en la ecuación indicada por (*)
obtenemos el valor de “g”
1 + 3d
1 + 3 .2
7
g=
=⇒
⇒g =
4
4
2
Ahora multipliquemos todas las filas de A con la segunda columna de B:
2 − 2 2  a b c  1 0 0
 2 1 0  *  d e f  = 0 1 0 

 
 

3 − 2 2  g h i  0 0 1
El sistema formado es:

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2b − 2e + 2h = 0

⇒Despejamos la “e” de la segunda ecuación ⇒ e = 1 − 2b
2b + e = 1
3b − 2e + 2h = 0

Asociemos primera y tercera ecuación, si las restamos…
− 1b = 0 ⇒ b = 0 , en consecuencia podemos decir que e = 1 − 2.0 ⇒ e = 1
Reemplazando los valores obtenidos en la primera ecuación nos permite calcular
la...