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APLICACIONES LINEALES

           
Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Una aplicación  f: V----- W se dice que es lineal si verifica:
1)   f(x + y)=f(x)+f(y)
2)  y   f(tx)=tf(x)
 
Ejemplo 1. Consideremos en R2 la proyección ortogonal sobre el eje de abscisas, es decir definamos P: R2 ----- R, P(x1, x2)=x1
Se puede comprobar fácilmente que P es unaaplicación lineal.
               
Ejemplo 2. Se define la aplicación f: R3 ----- R2
                                      f(x1, x2, x3)= (x1+ x2, x2-x3)            
f es lineal.
En efecto seanx =(x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) , se tendrá x +y = (x1+ y1 , x2 + y2, x3+ y3)
f (x + y)= f(x1+ y1 , x2 + y2, x3+ y3)=( x1+ y1 + x2 + y2, x2 + y2-( x3+ y3))=( x1+  x2, x2 - x3)+ ( y1+  y2, y2 -y3)=f(x)+f(y)
Análogamente  f(tx) = tf(x) (comprobarlo)
 

Caracterización de aplicaciones lineales
f es lineal f(t x + s y)= t f(x)+ s f(y) para todo x, y perteneciente a V y para todo t y spertenecientes a K. (trivial)
 



Teorema 1.  Sea f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W. Se tiene:
1) f(0V)= 0W.
2) f(-x)=-f(x).
3) Si x1, x2,..., xp son vectores de V y t1,t2,....,tp pertenecen a K f(t1x1 +t2x2+....+tpxp)=t1f(x1)+t2f(x2)+…..+tpf(xp).
4) Si el conjunto  es linealmente dependiente (l.d.) entonces  es l.d.

Corolario.  Si  es un conjunto de vectores de Vy  es linealmente independiente (l.i) entonces  es l.i. El recíproco no es cierto.

Ejemplo 3. Sea f: R3 ----- R2   tal que  f(x1, x2, x3)= (x1+ x2, -x3)
Sea v1=(1, 0, 0), v2=(1, 1, -1) y v2=(1,0, 1). Se pide:
a) Probar que f es lineal
b) Probar que es l. d.

Solución
a) Sea x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3) , t de k, se verifica:
f (x + y)= f(x1+ y1 , x2 + y2, x3+ y3)=( x1+ y1 + x2 + y2,-( x3+ y3)) =( x1+  x2,  - x3)+ ( y1+  y2, - y3)= f(x)+f(y)
(comprobar que f(tx) = tf(x))
b) Se tiene f(v1)=f(1, 0, 0)=(1, 0),  f(v2)=(2, 1) y  f(v3)=(1,-1) que es ligado (evidente pues en...