Investigación de matematicas

Modulo – 3
Interpretación Geométrica de los Números Reales
A- Correspondencia entre número real y punto de la recta
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre elconjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se eligetambién un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
• Se asocia al origen el número 0,
• Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,
• Se asocia a cada númeronegativo - p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa.
Números Enteros
Eje X

Enteros NegativosEnteros Positivos
a- DISTANCIA

a-1 – Distancia entre dos puntos

Es la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de recta que une a estos dos puntos. Esto nos hace recordar un postulado Euclideano muy importante: “La distancia más corta entre dos puntos es la recta que los une.

En una recta real si P1 y P2 son dos puntos decordenadas y X1 y X2 respectivamente de
(P1 X1) (P2 X2) la distancia entre ellas está dada en la formula d1 (P1 P2) = I X2 – X1

Ejemplo:







La distancia en dos puntos debe conciderar ambas coordenadas:



Ejemplo:
En un sistema de coordenadas cartesianas, situar los siguientes puntos y calcular sus
distancias respectivas a) A(3,7) y B(17,–5) b) C(O,–9) y D(9,0) c) E(–2,2) yF(–11,7) d)
G(–4,–6) y H(–2,–I)


a-2 – Punto medio de un segmento.

Como el mismo nombre lo indica, es el punto que divide al segmento en dos partes iguales. Para calcular las coordenadas del punto medio de cualquier segmento, se promedian las coordenadas de los extremos.





a-3 – Distancia de un punto a una recta

La distancia entre un punto y una recta es la longitud del segmentoconocido como recta prosibola de recta que es perpendicular a la recta.

Esta distancia se calcula utilizando la siguente formula



Para la selección del signo radical (denominador) se usa el siguiente criterio:

1- Si C es distinto de 0 el radical será de signo contrario al de C ó

2- Si C vale 0 y B ≠ 0 el radical y B tienen el mismo signo

3- Si C = 0 y B = 0 el radical y Atendrán el mismo signo

Ejemplo: Encuentre la distancia de la resta 3x – 4y – 20 = 0 al punto (-3,1)



b- INTERVALOS

Un Intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de un segmento de la recta real.






INTERVALOS: Sean a y b dos números reales tales que a < b
Observación: en la representación gráfica de un intervalo, cuando un extremo esté incluidopintaremos en él un punto cerrado ( • ) y cuando no esté incluido, pintaremos uno
abierto ( o ).
b-1 – Intervalos Abiertos de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a < x < b, es decir, todos los números mayores que a y menores que b, no incluidos
a y b.

(a,b)



Ejemplo:
(-2, 3)1 → Este conjunto está formado por los infinitos números reales (enteros,...