investigación pelifacica

Problema 6 (Sydsaeter y Hammond)
Sea la siguiente función multivariada:
f(x,y)=x^2+y^2
La función está definida en R^2. Asimismo, el dominio se restringe con el siguiente conjunto:g(x,y)=x^2+〖xy+y〗^2=3
Determine el óptimo local mediante las condiciones necesarias de primer orden e identifique si se trata de máximos y/o mínimos.
Solución
En este caso, la función Lagrangiana es:
L(x,y;λ)=x^2+y^2-λ(x^2+〖xy+y〗^2-3)
Las condiciones necesarias del programa son:
∂L/(∂x_1 )=2x-λ(2x+y)=0
∂L/(∂x_2 )=2y-λ(x+2y)=0
∂L/∂λ=x^2+〖xy+y〗^2-3=0
Sumando las dos primeras ecuaciones tenemos:2(x+y)=3λ(x+y)
De allí que λ=2/3 cuando (x+y)≠0 ; por lo que, al reemplazar en la primera ecuación se obtiene x=y, y reemplazando x o y en la tercera ecuación obtenemos 1 ó -1. De este modo tenemos loscandidatos a solución (x,y; λ)=(1,1,2/3) y (x,y; λ)=(-1,-1,2/3) .
Por otro lado, cuando (x+y)=0, ello implica que y=-x, por lo que, reemplazando en la cuarta ecuación tenemos x^2=3, resultando un λ=2;siendo los candidatos para esta solución (x,y; λ)=(√3,-√3,2) y (x,y; λ)=(-√3,√3,2)
Si reemplazamos los puntos (1,1) y (-1,-1) en la función nos resultará 2 minimizando la función y si hacemos lo propiocon los puntos (√3,-√3); (-√3,√3) el resultado será de 6 maximizándola.
Comprobando las condiciones de segundo orden tenemos:
Se tiene que
f_11^''=2
f_12^''=0
〖 f〗_22^''=2,
g_11^''=2,
〖g〗_12^''=1
g_22^''=2
Luego,
D(x,y)=(■(0&2x+y&x+2y@2x+y&2-2λ&-λ@x+2y&-λ&2-2λ))
Calculando los cuatro determinantes de orden 3 con el correspondiente valor de λ obtenemos
Problema 6 (Sydsaeter y Hammond)Sea la siguiente función multivariada:
f(x,y)=x^2+y^2
La función está definida en R^2. Asimismo, el dominio se restringe con el siguiente conjunto:
g(x,y)=x^2+〖xy+y〗^2=3
Determine el óptimo localmediante las condiciones necesarias de primer orden e identifique si se trata de máximos y/o mínimos.
Solución
En este caso, la función Lagrangiana es:
L(x,y; λ)=x^2+y^2-λ(x^2+〖xy+y〗^2-3)...