investigacion algebra lineal unidad 1

INSTITUTO TECNOLOGICO
de Lázaro Cárdenas



ALGEBRA LINEAL

INVESTIGACION I
N U M E R O S C O M P L E J O S


NOMBRE DEL ALUMNO:
APELLIDO PATERNO
APELLIDO MATERNO
NOMBRE(S)





SEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE DE 2013

GRUPO: 32S

SALON: D2

FECHA DE ENTREGA:

Portada 1

Índice 21.1 Definición y origen de los números complejos 3

1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos 5

1.3 Potencias de "i", módulo o valor absoluto de un
número complejo 6

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo 7

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces
de un número complejo. 9

1.6 Ecuaciones polinómicas 10Bibliografía 12






Unidad 1: Números complejos
1.1 Definición y origen de los números complejos

Desde Al'Khwarizmi (800 DC), quien fuera precursor del Álgebra, sólo se obtenían las soluciones de las raíces cuadradas de números positivos. La primera referencia conocida relacionada con raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos (entreellos Herón de Alejandría en el siglo Ι antes de Cristo), ella surge como resultado de una imposible sección de una pirámide.
Los números complejos se hicieron más populares en el siglo XVI, cuando se buscaba hallar las fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de segundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano y aunque sólo estaban interesados en las raícesreales, se encontraron con la necesidad de manejar raíces de números negativos.
Girolamo Cardano (1501-1576) menciona por primera vez en su libro Ars Magna (1545) la necesidad de definir y utilizar números que respondan a la forma a con a 0 Para b < 0 Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones:Para b > 0: Lasraíces deben ser; ambas del mismo signo: positivas o negativas (+,+), (- , -) Para b < 0: Las raíces, se toman con signos opuestos: ( +,-),(-, +)
 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo
Forma Polar
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

Z puede ser expresado en forma polar como

En análisis complejo, no seadmiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).


Forma exponencial
La ecuación

Que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Siescribimos un número complejo no nulo en forma polar

La fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo
De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo


Donde la formula se usa cuando 

en este caso

En general, para cualquier entero positivo k.a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos




Raíces de un número complejo
Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los númerosreales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que  i2=-1, por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar...