Investigacion de calculo avanzado

Ecuación paramétrica

En la matemática, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa unparámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominioy una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

[editar] Ejemplo

Dada la ecuación Y = X2, una parametrización tendrá la forma [pic]
Una parametrización posible sería [pic]

Se debe destacar que para cadacurva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde "X" y "Y" equivaliesen a 2U y 4U2 sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso.

Funciones vectoriales.
Esta en escritorio.

Vector tangente
es un vector velocidad de una curva, que indica la dirección de movimiento dela misma.
es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto (véase fig.1). Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.
El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente topologizado, forma el llamado fibrado tangente. Resulta ser en sí mismo otra variedad de dimensión doble de ladimensión de la variedad de entrada. *******
Vector normal
es un vector de un espacio de producto escalar que contiene tanto a la entidad geométrica como al vector normal, que tiene la propiedad de ser ortogonal a todos los vectores tangentes a la entidad geométrica.
Sea el vector v ∈ ℝn. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante [pic]si y solamente si el módulo de v esigual a 1.
O en forma más compacta:
[pic]
Longitud de arco
también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula generalpara obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Métodos modernos

Al considerar una curva definida por una función [pic]y su respectiva derivada [pic]que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1) [pic]
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como [pic]e [pic], lalongitud del arco desde el punto [pic]hasta el punto [pic]se calcula mediante:
(2) [pic]
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante [pic], la longitud del arco comprendido en el intervalo [pic], toma la forma:
(3) [pic]
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodosde integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
Rotacional
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que...