Investigacion de operaciones II

Cadenas de Markov. Ejercicios resueltos

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EJERCICIOS RESUELTOS DE CADENAS DE MARKOV

1) En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de
los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el
clima del pueblo como una cadena de Markov.
SOLUCIÓN:
Se trata de una cadena de Markov con dos estados {Soleado, Nublado} que paraabreviar representaremos por {S, N}, siendo la matríz de probabilidades de
 0,9 0,1 
transición: P = 
 0,2 0,8 



2) El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso.
El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov.
Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los
otros dos pisos,mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de
las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo
piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide:
a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena
b) Dibujar el grafo asociado
c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre
en cada uno de los trespisos.
SOLUCIÓN:
a) Los estados de la cadena los denotaremos por { 0, 1 , 2} haciendo
corresponder el 0 al bajo y 1 y 2 al primer y segundo piso respectivamente.
Las probabilidades de transición son:
p00 = P(Rn=0 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en
la planta baja si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es 0,
porque se supone que de etapa aetapa el ascensor se mueve.
p01 = P(Rn=1 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en
la planta primera si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es
½. Basta leer el enunciado.
Y así sucesivamente vamos obteniendo las distintas probabilidades de transición
cuya matriz es:
p 01 p 02   0 1 1 
 p 00
2

 3 2 1
P =  p 10
p 11
p 12  = 4 0 4 
 p 20
p 21 p 22   1 0 0 

 

b)
0

1

2

Cadenas de Markov. Ejercicios resueltos

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c)

r
r
q.P = q , siendo q = (x,y,z) los valores de las probabilidades pedidas, añadiendo
la ecuación x+y+z = 1

0 1 1 
2
2


( x, y.z ). 3 0 1  = ( x, y, x) , añadiendo x+y+z = 1. produce el siguiente sistema:
4
4
1 0 0


 4x − 3 y − 4z = 0
x − 2y = 0


 2x + y − 4z = 0

x + y + z =1


cuyas soluciones son:

x=8/17; y = 4/17; z= 5/17

3º) Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar
desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta,
desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Despues de
estar trabajando un día en C,la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día
siguiente es 0,4, la de tener que viajar a B es 0,4 y la de tener que ier a A es 0,2. Si el
viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando
en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá
a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercialtrabaja todo un día en A,
permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0,1, irá a B
con una probabilidad de 0,3 y a C con una probabilidad de 0,6.
a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que
trabajar en C al cabo de cuatro días?
b) ¿Cuales son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada
una de las tresciudades?

SOLUCIÓN:
La matriz de transición P es la siguiente para el orden A,B,C
 0,1 0,3 0,6 


P =  0,2 0,2 0,6  ; El apartado a) consiste en averiguar el término p433, es decir el
 0,2 0,4 0,4 


término que ocupa la fila 3 y la columna 3 de la matriz P4. lo cual se obtiene con la fila
3 y la columna 3 de P2, cuyos valores son:

− 0,48 
 −


P = −
− 0,48  ,
por...