Investigacion De Operaciones Metodo Grafico
Páginas: 11 (2528 palabras)
Publicado: 25 de noviembre de 2012
MÉTODO GRÁFICO
El gráfico es un método de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible,comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).
EL PROBLEMA
La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente senecesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T afabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
RESTRICCIONES
0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea deminimización lo más recomendado es incluirlas.
FUNCIÓN OBJETIVO
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO
PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES
Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de lasgráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de lasvariables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
Bryan Antonio Salazar López
Seguimos con la segunda restricción,
0,15X + 0,1y = 300
Bryan Antonio Salazar López
Tercera restricción,
0,072X + 0,027y = 108
Bryan Antonio Salazar López
En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.
Bryan Antonio Salazar López
Una vez se llega a este punto esindispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos).
La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este pasoconsiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).
Función objetivo,
ZMAX = 4000x + 5000y
luego igualamos a 0.
4000x + 5000y = 0
luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la gráfica correspondientes a la ecuación (en esta ocasión es recomendable más de dos coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).
Bryan Antonio Salazar López...
El gráfico es un método de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible,comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).
EL PROBLEMA
La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente senecesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T afabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
RESTRICCIONES
0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea deminimización lo más recomendado es incluirlas.
FUNCIÓN OBJETIVO
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO
PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES
Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de lasgráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de lasvariables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
Bryan Antonio Salazar López
Seguimos con la segunda restricción,
0,15X + 0,1y = 300
Bryan Antonio Salazar López
Tercera restricción,
0,072X + 0,027y = 108
Bryan Antonio Salazar López
En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.
Bryan Antonio Salazar López
Una vez se llega a este punto esindispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos).
La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este pasoconsiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).
Función objetivo,
ZMAX = 4000x + 5000y
luego igualamos a 0.
4000x + 5000y = 0
luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la gráfica correspondientes a la ecuación (en esta ocasión es recomendable más de dos coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).
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