Investigacion de operaciones

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Primer problema
Una Compañía fabrica tres clases de zapatos: para damas, Caballeros y niños. Los tres tipos de zapatos se fabrican en dos plantas diferentes. En un día hábil de 6 horas, la planta Nº 1 fabrica 25 pares de zapatos para damas, 40 para caballero y 50 para niños. La planta Nº 2 fabrica 30, 50 y 100 respectivamente. La Compañía ha proyectado una demandaminima mensual para los tres tipos de calzados en 1.000, 1.500 y 3.000 pares, respectivamente. Los costos diario de operación de la planta Nº 1 es de BsF. 250, mientras que el costo para la planta Nº 2 es de BsF. 350 diarios.
A la compañía le gustaría determinar el número óptimo de días de operación por mes en las dos diferentes plantas con el objetivo de minimizar el costo total de producción,al mismo tiempo que se satisface la demanda.

El Planteamiento del modelo es el siguiente:
X1= numero de días laborables en la planta 1
X2= numero de días laborables en la planta 2
[pic] (Costo mínimo en BsF.)
s.a.
[pic](Demanda mínima mensual de pares de zapatos para damas)
[pic](Demanda mínima mensual de pares de zapatos para caballeros)
[pic](Demanda mínima mensual depares de zapatos para niños)
[pic] (Máximos días laborables en la planta 1)
[pic] (Máximos días laborables en la planta 2)
[pic] [pic] (Condición de no negatividad)
La solución gráfica del modelo es la siguiente:
[pic]

a) Hallar e interpretar la solución óptima del primal completa:
x1=10 (Se usara 10 días en la primera planta)
x2=25 (Se usara 25 días en la segunda planta)
C=11250 (Elcosto mínimo es de 11.250 BsF.)
h1=0 (Se producirá 1000 pares de zapatos para damas)
h2=150 (Se producirá 1650 pares de zapatos para caballeros, es decir 150 pares más mínimo requerido)
h3=0 (Se producirá 3000 pares de zapatos para niños)
h4=20 (Solo se uso 10 días en la primera planta)
h5=5 (Solo se uso 25 días en la segunda planta)

b) Hallar e interprete los precios sombra del primal(variables duales)
Como las variables del primal en el óptimo tienen valores diferentes de cero, entonces las holguras del dual son cero y además como h2, h4 y h5 son no nulas entonce y2,y4 Y y5 son nulas. Los valores de y1 Y y2 se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

[pic] [pic] Luego:

y1=7,5 (Si se aumenta en un par de zapatos de dama en la demanda mínima, la funciónobjetivo se incrementa en 7,5 BsF.)
y2=0 (Si se aumenta en un par de zapatos de caballero en la demanda mínima, la función objetivo no variara)
y3=1,25 (Si se aumenta en un par de zapatos de niño en la demanda mínima, la función objetivo se incrementa en 1,25 BsF.)
y4=0 (Si se disminuye en un día laborable en la planta 1, la función objetivo no variara)
y5=0 (Si se disminuye en un día laborableen la planta 2, la función objetivo no variara)

c) ¿Cuál es el aumento y disminución permitida en el costo de la planta 2 en la función objetivo de tal manera no cambie el valor óptimo de las variables de decisión?
Esto se obtiene moviendo la recta de la función objetivo de tal manera que sea paralela a las rectas de las restricciones 1 y 3. También es equivalente en mover la segundarestricción del dual sobre la primera restricción.
Primera forma:
Pendiente de la recta función objetivo es [pic]
Pendiente de la recta restricción 1 es [pic] Pendiente de la recta restricción 3 es [pic]
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, luego
mFO=m1 ( [pic]([pic] y mFO=m3([pic]([pic]
Entonces el coeficiente c2 se reduce en 50 y se incrementa en 150 que representa el costo de lasegunda planta.

Segunda forma:
[pic] Buscamos donde la primera ecuación corta a los ejes de coordenada y esos puntos se sustituyen en la segunda ecuación y los valores que den son los valores que tomaría el coeficiente que corresponde a la segunda planta.
Si y1=0 ( y3=5 y si y3=0 ( y1=10 entonces 30(0)+100(5)=500 y 30(10)+100(0)=300
Entonces el coeficiente c2 se reduce en 50 y se...