Investigacion De Operaciones

UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION
FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

C´lculo Num´rico MAT-221N a e Pr´ctica No.3 a

1. Sea el polinomio p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0. Es conocido que: • Todas las ra´ ıces z de la ecuaci´n p(x) = 0 se encuentran en el anillo o |an | c ≤ |z| ≤ 1 + b + |an | |a0 | donde b = max{|a0 |, |a1 |, .. . , |an−1 |} y c = max{|a1 |, . . . , |an |}. • Para determinar la naturaleza de las ra´ ıces de la ecuaci´n p(x) = 0 no es siempre necesario o resolverla, se puede usar la regla de los signos de Descartes que dice: La ecuaci´n o p(x) = 0 no puede tener m´s ra´ a ıces positivas que el n´mero de cambios de signo que hay en u p(x), y no puede tener m´s ra´ a ıces negativas que el n´mero de cambiosde signo que hay en u p(−x). Por ejemplo la ecuaci´n x9 + 5x8 − x3 + 7x + 2 = 0 tiene cuando m´s 2 ra´ positivas, o a ıces 3 ra´ ıces negativas, y en consecuencia tiene como m´ ınimo 4 ra´ ıces imaginarias. Para cada ecuaci´n, determine la naturaleza de sus ra´ o ıces y el anillo que contiene a dichas ra´ ıces: (a) 2x3 − 12x2 − x + 1 = 0 (b) 3x4 + 12x2 + 5x − 4 = 0 (c) x10 − 4x6 + x4 − 2x − 3 = 02. Localice y calcule mediante el m´todo de bisecci´n las ra´ de las ecuaciones con una precisi´n de e o ıces o 10−1 : (a) x3 − 1.5x2 + 0.58x − 0.057 = 0; (b)
π ax 2e

+

(c) 0.1ex − sin x + 0.5 = 0, x ∈ [−5π, 5π]. √ 3. Sea la ecuaci´n: x − cos x = 0. o (a) Demuestre gr´ficamente que tiene al menos una soluci´n en el intervalo [0, π ]; a o 2 (b) Utilice el teorema del valor intermedio parademostrar que existe al menos una soluci´n en o dicho intervalo. ¿Puede probar que es unica? ´ (c) Aplique el m´todo de bisecci´n para obtener una soluci´n en el intervalo [0, 1]. e o o 4. Use el m´todo de bisecci´n para encontrar una soluci´n con una precisi´n de 10−3 para la ecuaci´n e o o o o x − tan x = 0 en [4, 4.5]. 5. Use el m´todo de bisecci´n para encontrar soluciones con una precisi´nde 10−5 para las ecuaciones: e o o (a) ex − x2 + 3x − 2 = 0 en 0 ≤ x ≤ 1 (b) 2x cos(2x) − (x + 1)2 = 0 en −3 ≤ x ≤ −2 y en −1 ≤ x ≤ 0 (c) x cos x − 2x2 + 3x − 1 = 0 en 0.2 ≤ x ≤ 0.3 y en 1.2 ≤ x ≤ 1.3 √ 6. Encuentre una aproximaci´n para 3 25 con una precisi´n de 10−4 usando el algoritmo de bisecci´n. o o o [Sugerencia: Considere f (x) = x3 − 25]

x a2 +x2 2

= 0 para a = 0.5 y a = 0.6;

17. Determine el n´mero de iteraciones que se requieren para alcanzar una soluci´n de la ecuaci´n u o o x3 − x − 1 = 0 en el intervalo [1, 2] con una exactitud de 10−4 . Calcule la ra´ con ese grado de ız exactitud.
1 8. (Sobre |f (pn )| < TOL como criterio de parada) Sea f (x) = (x − 1)10 , p = 1, y pn = 1 + n . −3 −3 Demuestre que |f (pn )| < 10 siempre que n > 1, pero que |p − pn | < 10requiere que n > 1000.

9. (Sobre |pn − pn−1 | < TOL como criterio de parada) Sea {pn } la sucesi´n definida por pn = o n 1 . Demuestre que {pn } diverge a´n cuando se tenga que lim (pn − pn−1 ) = 0. u n→+∞ k
k=1

10. Mediante manipulaci´n algebraica demuestre que las siguientes funciones tienen un punto fijo en p o exactamente cuando f (p) = 0, donde f (x) = x4 + 2x2 − x − 3. (a) g1 (x) = (3 + x −2x2 ) 4
1

(b) g2 (x) =

3x4 + 2x2 + 3 4x3 + 4x − 1

√ 11. Se proponen los siguientes m´todos para calcular 3 21. Clasif´ e ıquelos por orden, bas´ndose para ello a en la rapidez de convergencia y suponiendo que p0 = 1. (a) pn = 20pn−1 + 21/p2 n−1 21 (c) pn = pn−1 − (d) pn = 21 pn−1 p4 − 21pn−1 n−1 p2 − 21 n−1
1 2

p3 − 21 (b) pn = pn−1 − n−12 3pn−1

12. Aplique el m´todo de iteraci´nde punto fijo para determinar una soluci´n con una precisi´n de e o o o 10−2 para la ecuaci´n: x4 − 3x2 − 3 = 0 en [1, 2]. Use p0 = 1. o 13. Aplique el m´todo de iteraci´n de punto fijo para determinar una soluci´n con una precisi´n de e o o o 10−2 para la ecuaci´n: 2 sin(πx) + x = 0 en [1, 2]. Use p0 = 1. o 14. Determine un intervalo [a, b] en que converger´ la iteraci´n de punto fijo para las...