Investigacion De Operaciones

Prof. Ing. Claudio L. R. Sturla

PROGRAMACIÓN DINÁMICA
PARTE II
Para formular el problema de Finco como de programación dinámica, comenzaremos identificando la
etapa.
Como en los ejemplos de inventario y de trayectoria más corta, la etapa se debe elegir de tal modo que
cuando quede una etapa el problema sea fácil de resolver.
Entonces, en vista de que se ha resuelto el problema para elcaso en el que queda una etapa, debe ser
fácil resolverlo cuando queden dos etapas, y así sucesivamente.
Es evidente que sería fácil resolver un problema en el cual sólo se dispusiera de una inversión, por lo
que definiremos la etapa t como representativa de un caso en el que los fondos se deban asignar a las
inversiones t , t + 1,  ,3
Para una etapa dada, ¿qué debemos conocer para determinarla cantidad óptima por invertir?
Simplemente cuánto dinero queda disponible para las inversiones t , t + 1,  ,3
Entonces definiremos el estado en cualquier etapa como la cantidad de dinero, en miles, disponible para
las inversiones t , t + 1,  , 3
Como nunca tendremos más de 6.000 UM disponibles, los estados posibles en cualquier etapa son 0, 1,
2, 3, 4, 5 y 6.
Definiremos a f t ( d t )como el valor actual neto máximo (VAN) que se puede obtener invirtiendo d t
miles de UM en las inversiones t , t + 1,  , 3
También definiremos a xt ( d t ) como la cantidad que se debe invertir en t para alcanzar f t ( d t )
Iniciamos avanzando hacia atrás y calculamos f 3 ( 0) , f 3 (1) ,  , f 3 ( 6) y a continuación determinamos
f 2 ( 0) , f 2 (1) ,  , f 2 ( 6)
Como se dispone de 6.000 UMpara invertir en 1, 2 y 3, terminamos los cálculos al llegar a f1 ( 6)
Entonces volvemos sobre nuestros pasos y determinamos la cantidad que se debería asignar a cada inversión (al igual que cuando volvimos sobre nuestros pasos para determinar el nivel óptimo de producción en cada mes, en el Ejemplo 4).
Cálculos de la etapa 3

Primero determinamos f 3 ( 0) , f 3 (1) ,  , f 3 ( 6)
Vemos que f3 ( d 3 ) se logra invirtiendo todo el dinero disponible ( d 3 ) en la inversión 3.
O sea
f 3 ( 0) = 0
f 3 (1) = 9
f 3 ( 2 ) = 13
f 3 ( 3) = 17
f 3 ( 4 ) = 21
f 3 ( 5) = 25
f 3 ( 6 ) = 29

prog_dinamica-2.doc

x1 ( 0) =
x1 (1) =
x1 ( 2 ) =
x1 ( 3) =
x1 ( 4) =
x1 ( 5) =
x1 ( 6 ) =

0
1
2
3
4
5
6

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Cálculo de la etapa 2
Paradeterminar f 2 ( 0 ) , f 2 (1) ,  , f 2 ( 6) vemos todas las cantidades posibles que se puedan colocar en la
inversión 2.
Para determinar f 2 ( d 2 ) , sea x 2 la cantidad invertida en 2.
Entonces, se obtendrá un VAN de r2 ( x 2 ) debido a la inversión 2, y un VAN igual a f 3 ( d 2 − x2 ) de la
inversión 3.
Recuerde el principio de optimalidad.
Como x 2 se debe elegir para maximizar el valoractual neto ganado con las inversiones 2 y 3, escribimos
f 2 ( d 2 ) = máx{ r2 ( x 2 ) + f 3 ( d 2 − x 2 )}

(5)

x2

en la que x 2 debe ser elemento de {0, 1,..., d 2 }
Los cálculos para f 2 ( 0 ) , f 2 (1) ,  , f 2 ( 6) y x 2 ( 0) , x 2 (1) ,  , x 2 ( 6 ) se presentan en la Tabla 6.
d2

x2

r2 ( x 2 )

0

0

0

f 3 ( d 2 − x2 ) VAN DE INVERSIONES
2, 3
0

0*

f2 ( d2 )x2 ( d 2 )

f 2 ( 0) = 0

x 2 ( 0) = 0
1
1

0
1

0
10

9
0

9
10*

f 2 (1) = 10

2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6

0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6

0
10
13
0
10
13
16
0
10
13
16
19
0
10
13
16
19
22
0
10
13
16
19
22
25

13
9
0
17
13
9
0
21
17
13
9
0
2521
17
13
9
0
29
25
21
17
13
9
0
Tabla 6

13
19*
13
17
23*
22
16
21
27*
26
25
19
25
31*
30
29
28
22
29
35*
34
33
32
31
25

f 2 ( 2 ) = 19

prog_dinamica-2.doc

x 2 (1) = 1

x 2 ( 2) = 1

f 2 ( 3) = 23
x 2 ( 3) = 1

f 2 ( 4 ) = 27
x 2 ( 4) = 1

f 2 ( 5) = 31
x 2 ( 5) = 1

f 2 ( 6 ) = 35
x 2 ( 6) = 1

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