investigacion matematica

UNEXPO PUERTO ORDAZ

ALGEBRA LINEAL

Lic ELIZABETH VARGAS

1

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
ANTONIO JOSÉ DE SUCRE
VICE-RECTORADO
VICE RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE
SOBRE:
MATRICES
Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROFESORA: ELIZABETH VARGAS

PUERTO ORDAZ 2009

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Lic ELIZABETH VARGAS

2

1)Resuelva los sistemas dados usando el método de eliminación de Gauss con
sustitución regresiva.

‫3 = ݓ31 − ݖ4 + ݕ5 + ݔ‬
a) ൝ 3‫2 = ݓ5 + ݖ2 + ݕ − ݔ‬
2‫1 = ݓ4 − ݖ3 + ݕ2 + ݔ‬

A=Matriz de los coeficientes

Solución: Se procede a escalonar la matriz A para ello se usan las
operaciones elementales por fila:
1
൭3
2

5
−1
2

4
2
3

1
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ቌ0
0
ଵ
ି ௙మ ା௙య →௙య
ଶ

−13 3−3݂ + ݂ → ݂
1
ଵ
ଶ
ଵ
> ൭0
5 อ 2൱
−2݂ଵ + ݂ଷ → ݂ଷ
−4 1
0
5
−16
0

4
−10
0

−13 3
44 อ −7ቍ
ଷ
ି
0
ଶ

Luego el sistema equivalente es:

5
−16
−8

4
−10
−5

−13 3
44 อ −7൱
22 −5

‫3 = ݓ31 − ݖ4 + ݕ5 + ݔ‬
0‫7− = ݓ44 + ݖ01 − ݕ61 − ݔ‬
0‫− = ݓ0 + ݖ0 + ݕ0 + ݔ‬య
మ

De la última ecuación se obtiene 0 = − ଶ , lo cual es falso, por lo tanto el
ଷ

sistema no tienesolución.
b) ൝

‫5 = ݓ2 − ݖ4 + ݕ3 − ݔ‬
2‫2 = ݓ + ݖ5 + ݕ‬
−3‫4 = ݕ + ݖ‬

Solución: Se procede a escalonar la matriz A para ello se usan las
operaciones elementales por fila:
1 −3 4
൭0 2
5
0 1 −3

−2 5 ௙మ ↔௙య 1
1 อ 2൱ ሱۛۛሮ ൭0
0 4
0

−3 4
1 −3
2
5

El sistema equivalente es:

−2 5 ିଶ௙మ ା௙య →௙య 1
0 อ 4൱ ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭0
1 2
0

‫5 = ݓ2 − ݖ4 + ݕ3 − ݔ‬
൝
‫4 = ݖ3 − ݕ‬
11‫6− = ݓ + ݖ‬−3 4
1 −3
0 11

−2 5
0อ 4൱
1 −6

Hay 3 ecuaciones y 4 incógnitas por lo tanto el sistema tiene infinitas
soluciones: para hallar la solución general se expresan las incógnitas en
función de una de ellas, por ejemplo se fija la variable z y se expresan x e
y en función de z obteniéndose:

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‫ݖ11 − 6− = ݓ‬
‫ݖ3 + 4 = ݕ‬‫ݓ2 + ݖ4 − ݕ3 + 5 = ݔ‬

En la última ecuación se sustituye w e y obteniéndose:
Así la solución general del sistema dado es:
‫ݔ‬
5 − 17‫ݖ‬
‫ݕ‬ቍ = ቌ −3‫ ݖ‬ቍ
ቌ
‫ݖ‬
‫ݖ‬
‫ݓ‬
−6 − 11‫ݖ‬

La cual se puede expresar así:

3

‫ݖ71 − 5 = ݔ‬

con ‫ܴ ∈ ݖ‬

−17
5
ቌ 0 ቍ + ‫ ݖ‬ቌ −3 ቍ
0
1
−11
−6

Para hallar soluciones particulares del sistema se le da valores a z, por
ejemplo:

5Para z=0 se obtiene la solución ቌ 0 ቍ
0
−6

−12
Para z=1 se obtiene la solución ቌ −3 ቍ
1
−17

2) ¿Qué condiciones deben cumplir a,b,c para que el sistema dado tenga
‫ܽ = ݖ3 − ݕ2 + ݔ‬
solución?
൝2‫ܾ = ݖ11 − ݕ6 + ݔ‬
‫ܿ = ݖ7 + ݕ2 − ݔ‬
Solución.
1
൭2
1

2
6
−2

−3
−11อ
7

ܽ
1
ିଶ௙ ା௙ →௙
ܾ ൱ భ మ మ > ൭0
ି௙భ ା௙య →௙య
ܿ
0

2
2
−4

ܽ
−3
௙మ ା௙య →௙య 1
−2ܽ + ܾ൱ሱۛۛۛۛۛሮ ൭0
−5อ
ܿ−ܽ
10
0

2
2
0

Si −5ܽ + 2ܾ + ܿ = 0: El sistema tiene infinitas soluciones.

ܽ
−3
−2ܽ + ܾ ൱
−5อ
−5ܽ + 2ܾ + ܿ
0

Si −5ܽ + 2ܾ + ܿ ≠ 0 El sistema no tiene solución.

El sistema dado tiene solución si a,b,c satisfacen la condición −5ܽ + 2ܾ + ܿ = 0

Por ejemplo si a=0, b=1, entonces c=-2, luego el sistema dado se transforma

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4

‫0 = ݖ3 − ݕ2 + ݔ‬
൝2‫ 1 = ݖ11 − ݕ6 + ݔ‬Se deja al lector para que resuelva este sistema.
‫2− = ݖ7 + ݕ2 − ݔ‬

3) Halle los valores de α y β para que el sistema dado sea compatible:
3‫ߙ = ݕ7 − ݔ‬
‫ߚ= ݕ+ݔ‬
൞
5‫ߚ2 − ߙ5 = ݕ31 − ݔ‬
‫1 − ߚ + ߙ = ݕ2 + ݔ‬

Una vez hallado el valor de α y β, el lector debe sustituirlos en el sistema y
buscar la solución del mismo.
ߙ‫7− 3 ۇ‬
‫ ۊ‬௙భ ↔௙మ ‫ۇ‬
ተ
ߚ
‫ 1 1 ۈ‬ተ
‫ ۋ‬ሱۛۛሮ ‫ۈ‬
5 −13
5ߙ − 2ߚ
ߙ+ߚ−1 ‫ی‬
‫2 1 ۉ‬
‫ۉ‬

1 1
ߚ
‫݂3− ۊ‬ଵ + ݂ଶ → ݂ଶ
ߙ
3 −7 ተ
ተ
‫݂5− ۋ‬ଵ + ݂ଷ → ݂ଷ →
5ߙ − 2ߚ
5 −13
– ݂ଵ + ݂ସ → ݂ସ
ߙ+ߚ−1 ‫ی‬
1 2

ߚ
ߚ
‫1 1 ۇ‬
‫ ۊ‬௙మ ↔௙ర ‫ 1 1 ۇ‬ተ
‫݂81 ۊ‬ଶ + ݂ଷ → ݂ଷ ‫ۇ‬
0 −10ተ
ߙ − 3ߚ
ሱۛۛሮ ‫ 1 0 ۈ‬ተ ߙ − 1 ‫ۋ‬
ተ
‫ۈ‬
‫ۋ‬
‫ۈ‬
0 −18 −5ߚ + 5ߙ − 2ߚ
0 −18 5ߙ − 7ߚ 10݂ଶ + ݂ସ → ݂ସ...