Investigacion Operativa Conjuntos Convexos

UNMSM
2012
Tarea de Investigación Operativa (Práctica)
Profesor: César Pacheco
FRANCO ERNESTO LOPEZ SILVA 10200198
FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA2DA TAREA DE IO

Problema 1 .
Se llama Cono de Bishop-Phelps al conjunto K(v;) definido por: K(v;)={xR3: εvx≤v,x}. Demostrar que el cono de Bishop-Phelps es un conjunto convexo.
Solución:
Sea vR3\ {0} y ε > 0 fijos,

consideramos x, y 2 K(v; ε) y t [0;1].

Sea z = tx+(1-t)y,

vemos que z K(v; ε):

εvx = εvtx+1-ty

≤tεvx+(1-t)εvy

≤tv,x+(1-t)v,x
=v,x
Luego z K(v; e), y como x ;y; t son arbitrarios se puede inferir que K(v; ε) es convexo.

Problema 2.
Dados a, bR2 y γ[0;1], se llama Pétalo de Penot al conjuntoPγ(a,b) definido por: P γ(a,b) = {xR2:γa-x+x-b≤b-a. Demostrar que el Pétalo de Penot es un conjunto convexo.
Solución:
Sean a ; b 2 R2 y λ [0;1] fijos, consideramos x ;y Pλ (a ; b) y t [0;1]. Sea z =tx+1-ty, vemos que z P λ (a; b):

γa-x+x-b=γa-tx-1-ty+tx+1-ty-b

= γta+1-ta-tx-1-ty+tx+1-ty-tb-1-tb

= γ1-ta-1-ty+ta-tx+1-ty-1-tb+tx-tb

≤γ1-ta-y+γta-x+1-ty-b+tx-b

=tγa-x+x-b+1-t[a-y γ+y-b≤tb-a+1-tb-a
=b-a

Luego z P λ (a; b), y como x; y; t son arbitrario puede inferir que Pλ ( a;b) es convexo.

Problema 3.
Dados C R2 y x0 R2, se llama Gota de Danés al conjunto [C;x0] definidopor:
[C;x0]=Co({x0} C) Demostrar que el conjunto Gota de Danés es un conjunto convexo.
Solución
Teniendo en cuenta que el conjunto [C;x0] R2 (llamaremos al conjunto [C;x0], conjunto S)
Se defineS= Co({x0} C)
Ya que C R2 y x0 R2, su unión nos proporcionará un conjunto que también pertenezca a R2 y según propiedad de envoltura convexa, se tiene:
S es convexo si y solo si Co(S) = S.
->[C,X0] ≈ { X0} U C
El conjunto de danés se define: S= Co({x0} C) S= Co(S),
Por lo tanto S({x0} C) es convexo.

Problema 4 .
Sea g:RnR una función convexa . Se define f(x) = eg(x). Muestre...