Investigacion
Páginas: 6 (1451 palabras)
Publicado: 8 de abril de 2011
2.5 LA DEMOSTRACIÓN Y SUS MÉTODOS.
La demostración es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema.
Las demostraciones son argumentos validos que establecen la verdad de una proposición matemática.
Por argumento nos referimos a las secuencias de afirmaciones que terminan en una conclusión.
Que el argumento sea valido significa que la verdad de la conclusión debe seguirse dela verdad de las premisas. Es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
Una demostración se construye a partir de las hipótesis del teorema a demostrar, los axiomas que sabemos que son verdad, y teoremas previamente demostrados.
¿Para qué sirven las demostraciones?
Ningún resultado en matemáticas se puede considerar valido, hasta tanto no sea demostrado de maneraformal. La solución de un problema debe pasar a través del tamiz indefectible de la lógica, si se quiere elevar a la categoría de un hecho verdadero. Una pequeña falla o argumento erróneo en el proceso de demostración anula toda posibilidad de éxito en el paso de las hipótesis hacia la tesis.
Los matemáticos son muy metódicos, analíticos e inflexibles en cuanto a la verificación de losresultados. La formalidad es un ingrediente fundamental en el trabajo. Todo debe estar suficientemente justificado. Esto quizás sea motivo de incomprensión y rechazo hacia la matemática por parte de las personas ajenas a esta ciencia. En la vida real podemos emitir juicios basados en nuestra experiencia que pueden ser o no confirmados por otras personas: Esta fruta está sabrosa. La joven es bella. Eltiempo está nublado.
Este tipo de juicios no requiere de pruebas formales.
En matemáticas se trata justamente de buscar y probar verdades eternas aceptadas por todos. La búsqueda de la verdad es parte esencial de esta ciencia. Una ciencia de lo verdadero en el sentido más amplio de la palabra. Cuando se descubre una fórmula se siente un placer estético semejante al del músico al terminar decomponer una pieza musical o al del pintor cuando logra plasmar los colores de un paisaje sobre el lienzo.
Las demostraciones son importantes para garantizar la validez de los teoremas de la matemática, aparte del placer estético que nos proporcionan. Al quedar demostrada una fórmula, ella se convierte en una herramienta confiable susceptible de aplicaciones en otras ciencias. Pensemos en lo quesucedería si los ingenieros o arquitectos usarían fórmulas erróneas en sus proyectos. Los edificios se derrumbarían, los trenes no podrían moverse, los aviones no volarían,...etc.
Otro aspecto aun más importante desde el punto de vista teórico es que, dentro del proceso de la demostración, surgen nuevas ideas que enriquecen a la matemática.
La lógica es la forma correcta de razonar enmatemáticas para demostrar proposiciones. Una proposición es un juicio en donde se arma o se niega alguna propiedad acerca de algo. Por ejemplo cuando decimos 6 es un número par. Estamos armando que el 6 tiene la propiedad de ser par o que es un múltiplo de 2. También podemos decir que 6 no es par. Este también es un juicio en lógica, aunque sea falso. Las proposiciones del tipo Hoy es un día bonito, nopertenecen al campo de la lógica pues no se puede determinar su valor de verdad.
En lógica usamos variables para escribir en forma simbólica las proposiciones. Por ejemplo la proposición Todo gato es un mamífero, se simboliza así P→Q P donde P representa la afirmación “es un gato", y Q “es un mamífero."
Veamos algunos ejemplo de:
1.- Oraciones que son proposiciones:
(a) El semáforo estáverde.
(b) Los autos pueden avanzar.
(c) Hoy es 17 de marzo.
(d) Hoy es jueves.
(e) 4 es un número par.
2. Oraciones que no son proposiciones:
(a) Deténgase.
(b) ¿Quien viene?
(c) ¿Es divertido este curso?
(d) Si x2 = 9 entonces x = 3:
Estructura de la demostración
La demostración consta de 3 partes:
El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposición (teorema)...
La demostración es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema.
Las demostraciones son argumentos validos que establecen la verdad de una proposición matemática.
Por argumento nos referimos a las secuencias de afirmaciones que terminan en una conclusión.
Que el argumento sea valido significa que la verdad de la conclusión debe seguirse dela verdad de las premisas. Es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
Una demostración se construye a partir de las hipótesis del teorema a demostrar, los axiomas que sabemos que son verdad, y teoremas previamente demostrados.
¿Para qué sirven las demostraciones?
Ningún resultado en matemáticas se puede considerar valido, hasta tanto no sea demostrado de maneraformal. La solución de un problema debe pasar a través del tamiz indefectible de la lógica, si se quiere elevar a la categoría de un hecho verdadero. Una pequeña falla o argumento erróneo en el proceso de demostración anula toda posibilidad de éxito en el paso de las hipótesis hacia la tesis.
Los matemáticos son muy metódicos, analíticos e inflexibles en cuanto a la verificación de losresultados. La formalidad es un ingrediente fundamental en el trabajo. Todo debe estar suficientemente justificado. Esto quizás sea motivo de incomprensión y rechazo hacia la matemática por parte de las personas ajenas a esta ciencia. En la vida real podemos emitir juicios basados en nuestra experiencia que pueden ser o no confirmados por otras personas: Esta fruta está sabrosa. La joven es bella. Eltiempo está nublado.
Este tipo de juicios no requiere de pruebas formales.
En matemáticas se trata justamente de buscar y probar verdades eternas aceptadas por todos. La búsqueda de la verdad es parte esencial de esta ciencia. Una ciencia de lo verdadero en el sentido más amplio de la palabra. Cuando se descubre una fórmula se siente un placer estético semejante al del músico al terminar decomponer una pieza musical o al del pintor cuando logra plasmar los colores de un paisaje sobre el lienzo.
Las demostraciones son importantes para garantizar la validez de los teoremas de la matemática, aparte del placer estético que nos proporcionan. Al quedar demostrada una fórmula, ella se convierte en una herramienta confiable susceptible de aplicaciones en otras ciencias. Pensemos en lo quesucedería si los ingenieros o arquitectos usarían fórmulas erróneas en sus proyectos. Los edificios se derrumbarían, los trenes no podrían moverse, los aviones no volarían,...etc.
Otro aspecto aun más importante desde el punto de vista teórico es que, dentro del proceso de la demostración, surgen nuevas ideas que enriquecen a la matemática.
La lógica es la forma correcta de razonar enmatemáticas para demostrar proposiciones. Una proposición es un juicio en donde se arma o se niega alguna propiedad acerca de algo. Por ejemplo cuando decimos 6 es un número par. Estamos armando que el 6 tiene la propiedad de ser par o que es un múltiplo de 2. También podemos decir que 6 no es par. Este también es un juicio en lógica, aunque sea falso. Las proposiciones del tipo Hoy es un día bonito, nopertenecen al campo de la lógica pues no se puede determinar su valor de verdad.
En lógica usamos variables para escribir en forma simbólica las proposiciones. Por ejemplo la proposición Todo gato es un mamífero, se simboliza así P→Q P donde P representa la afirmación “es un gato", y Q “es un mamífero."
Veamos algunos ejemplo de:
1.- Oraciones que son proposiciones:
(a) El semáforo estáverde.
(b) Los autos pueden avanzar.
(c) Hoy es 17 de marzo.
(d) Hoy es jueves.
(e) 4 es un número par.
2. Oraciones que no son proposiciones:
(a) Deténgase.
(b) ¿Quien viene?
(c) ¿Es divertido este curso?
(d) Si x2 = 9 entonces x = 3:
Estructura de la demostración
La demostración consta de 3 partes:
El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposición (teorema)...
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