Investigacion

1.2 Multiplicadores de Lagrange.

    Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los deltipo siguiente:
(1)
 
Para resolverlo, asociamos un multiplicador l 1 con la i-ésima restricción y formamos el lagrangiano
(2)
 
Donde son constantes (desconocidas) denominadasmultiplicadores de Lagrange. Después resuélvase el sistema de n + m ecuaciones:
 

Teorema : Si existe una solución al programa (1), ésta se encuentra contenida entre las soluciones al sistema anterior,siempre y cuando y todas tengan primeras derivadas parciales continuas y la matriz jacobina de m x n,
 

tenga rango m en X = X*
 
El método de los multiplicadores de Lagrange es equivalente aemplear las ecuaciones de restricción para eliminar algunas de las variables x de la función objetivo y resolver después un problema de maximización sin restricciones para las restantes variables x.
 Ejemplo:
 
Una compañía planea gastar 10,000 dólares en publicidad. Cuesta 3,000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1,000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si laempresa compra x minutos de comerciales en la televisión y y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, está dado por . ¿Cómo puede la empresa maximizar su ingreso?
 Solución:
 
Se tiene el programa no lineal siguiente
 

 
Entonces Hacemos

 
Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1) da y la ecuación (2)da Así, , o

Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o . Entonces (4) y (5) nos dan

El hessiano para es

    Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y , es una funcióncóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal.
 
    Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de...