Investigacion
FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´SICAS Y MATEMATICAS I Ingenier´ Matem´tica ıa a UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Calculo Diferencial e Integral 08-2 Universidad de Chile
Basado en el apunte del curso C´lculo a (2da semestre), de Roberto Cominetti, Mart´ Matamala y Jorge San Mart´ ın ın.
SEMANA 13: INTEGRALES IMPROPIAS
7. Integrales Impropias
´ 7.1. Introduccion
En ladefinici´n de la integral de Riemann se impusieron dos condiciones fundao mentales que son: 1. Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b 2. Se define para funciones acotadas en [a, b] El prop´sito de esta secci´n, es extender la noci´n de integral al caso de intervalo o o o no acotados, y al caso de funciones no acotadas sobre un intervalo acotado. Estas dos extensiones dan origen a lasllamadas integrales impropias de primera y segunda especie respectivamente. Partamos por la definici´n del primer tipo o de ´stas: e Definici´n 7.1 (Integral Impropia de Primera Especie (Intervalo no Acotado)). o Sea f : [a, +∞) → diremos que f es integrable en [a, +∞) si se cumple que: Integral Impropia de
Primera Especie
(i) ∀x ∈ (a, +∞), f es integrable en [a, x] y adem´s a (ii) Existe el l´ ımitedefinido por
x x→ ∞
l´+ ım
f
a
+∞
f
a
Notaci´n: Si una funci´n es integrable en el intervalo:[a, ∞) entonces al o o valor del l´ ımite se le llama integral impropia de primera especie de f y se le denota
+∞ x
f = l´ ım
a
x→∞
f.
a
Observaciones
x
1. Si el l´ ımite l´ ım
x→∞
f existe, se dice que la integral impropia es convergente
a
y si no existe sedice que la integral impropia es divergente. 2. De una manera an´loga se definen las integrales de 1◦ especie siguiente a
b b
i)
−∞
f = l´ ım
x→−∞
f
x
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∞ c ∞
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puede ser cualquie-
ii)
−∞
f=
−∞
f+
c
f donde la constante c ∈
ra. En esta ultima definici´n es importante que las dos integrables de ´ o la derechaexistan o que sean convergente. Si alguna de estas integrales no converge entonces la integral de la izquierda tampoco . Ejemplo 7.1. Dado a > 0, estudiar la convergencia de la integral Claramente f (x) = l´ ımite
1 x +∞
dx . x a es integrable en [a, b] para cualquier b > a. Veamos el dx = l´ ım x→∞ x
x a
+∞ a
dt x = l´ [ln ( )] = ∄. ım x→∞ t a
Por lo tanto se trata de una integraldivergente.
Ejemplo 7.2. Dado a > 0 y α = 1, estudiar la convergencia de la integral
a
+∞
dx . xα
Nuevamente basta con estudiar el l´ ımite:
+∞ a
dx xα
x
=
x→∞
l´ ım
a
dt 1 1 = l´ ım x→∞ (1 − α) tα−1 tα 1 xα−1 − 1 aα−1 =
x a −1 1 (1−α) aα−1
1 = l´ ım x→∞ (1 − α)
∃
si α > 1 si α < 1
Por lo tanto esta integral impropia es convergente cuando α > 1 ydivergente si α < 1. Juntando estos dos ejemplos podemos resumir diciendo que
+∞ a
dx xα
=
Converge Diverge
si α > 1 si α ≤ 1
Definici´n 7.2 (Integral Impropia de Segunda Especie (Funciones no Acotadas)). o Sea f : [a, b) → una funci´n no acotada, diremos que f es integrable en [a, b) o Integral Impropia de Segunda Especie ssi: (i) ∀x ∈ (a, b)f es integrable en [a, x]
x
(ii) El l´ımite l´ ım Observaciones
x→b−
f existe.
a
x
1) Cuando el l´ ımite l´ ım
x→b−
f existe, se dice que la integral impropia cona
verge, y cuando no existe se dice que la integral impropia diverge.
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2) Se anota
x x→b− −b
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−b
f
a
l´ ım
f=
a a
f.
3) La primera condici´n de integrabilidad de este tipo defunciones exige, o entre otras cosas, que la funci´n f debe ser acotada en todo intervalo o (a, x), es decir, este tipo de funciones se caracterizan por tener una as´ ıntota vertical en x = b. 4) En forma an´loga se definen las integrales impropias siguiente: a
b b
(i) (ii)
a+
f = l´ ım
a+ b− c
x→a+
f
x b−
f=
a+
f+
c
f,
c ∈ (a, b)
En esta ultima definici´n la...
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