investigacion

Ecuación lineal con n incógnitas
Es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b  .
ai son los coefecientes.
b es el término independiente.
xi son las incógnitas.
Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación .
Ejemplo 
Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son solucionesde ella:
(1,−1,1,−1), (−2,−2,0, 4).
Ecuaciones equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales
a11x1 + a12x2 + .....................+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + .....................+a2nxn = b2
...............................................................
am1x1 + am2x2 + .....................+amnxn = bm
xi son lasincógnitas, (i = 1, 2,...,n).
aij son los coeficientes, (i = 1, 2,..., m), (j = 1, 2,..., n).
bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).
m, n         m > n, ó m = n, ó m < n.
Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...
Cuando bi = 0 para todo i, elsistema se llama homogéneo.
Solución de un sistema
Es cada conjunto de valores que verifica todas las ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos ecuaciones son iguales.Una ecuación es proporcional a otra.
Una ecuación es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
 1  Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
 2  Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistemaresultante es equivalente.
 3  Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
 4  Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
 5  Si en un sistemase cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
1 Incompatible
No tiene solución.
2 Compatible
Tiene solución.
1 Compatible determinado
Solución única.
2 Compatible indeterminado
Infinitas solucione
En un sistema de ecuaciones escalonado cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.
Ejemplos
 1  x + y +  z =  3
         y+ 2z = −1 
               z = −1
Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z = −1.
Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.
Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x = 3.

 2  También es un sistema escalonado:
x + y + z = 4
      y + z =  2
Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y lapasaremos al segundo miembro.
x + y = 4 − z
         y = 2 − z
Consideraremos z = λ, siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real.
x + y = 4 − λ
         y = 2 − λ
Sustituyendo en la 1ª ecuación el valor de y en función de λ se tiene:
x = 4 − λ − (2 − λ) = 2
Las soluciones son:
z = λ   y = 2 − λ   x = 2.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otroequivalente de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
 
Ejemplos
 1 
3x
+ 2y
+ z
=
1

5x
+ 3y
+ 4z
=
2

x
+ y
− z
=
1








 2 











 3 






Discutir un sistema es...