investigacion

Descripci´n de la deformaci´n y de las fuerzas
o
o
en un medio continuo
Mec´nica del Continuo
a
15 de marzo de 2010

1.

Temas tratados con anterioridad:
Descripci´n cualitativa de un medio continuo
o
Hip´tesis del continuo
o
Elementos materiales

1

2.
2.1.

Deformaci´n en un medio continuo
o
Desplazamiento

Cuando el medio se deforma, cada elemento material puntual sedesplaza
desde su posici´n inicial xi a una nueva posici´n x′i . Se define el campo
o
o
vectorial desplazamiento como
ui = x′i − xi

ui

P´(x´i)

P (x i)
xi

x´i

0
Figura 1: Desplazamiento de un punto material

2

2.2.

Elemento material lineal: Deformaci´n
o

Este elemento es de dimensi´n infinitesimal y sus extremos tienen cooro
denadas xi (punto P ) y xi + dxi (puntoQ). Sus extremos se desplazan a las
posiciones x′i (P ′) y x′i + dx′i (Q′ ), respectivamente. El desplazamiento de P
es ui y el de Q es ui + dui .

Q´(x i+ dx i+
u i+ du i )

dx´
i

u i+ du i

P´(xi + ui )
ui

Q(xi + dx i)
dxi

P (xi )

Figura 2: Desplazamiento de una l´
ınea material
De la figura se ve que:
dx′i = −ui + dxi + ui + dui = dxi + dui
Asumiendo que el campo dedesplazamiento ui(xj ) es una funci´n contio
nua,
∂ui
dui =
dxj ,
∂uj
que es correcta a primer orden debdio a la peque˜ ez de dxi . Llamaremos a
n
∂ui /∂uj tensor de las derivadas de los desplazamientos.

3

Para analizar el tensor, lo separamos en su parte sim´trica y antisim´trica,
e
e
∂ui
= ei,j + ξi,j
∂uj
donde
1 ∂ui ∂uj
+
2 ∂xj
∂xi
∂uj
1 ∂ui
−
=
2 ∂xj
∂xi

ei,j=
ξi,j
1. Parte sim´trica ei,j :
e

a) Consideremos s´lo los elementos diagonales (por ejemplo, en el
o
sistema de ejes principales). Tenemos que:
dui = dx′i − dxi =

∂ui
dxi = ei,i dxi ,
∂xi

con i sin sumar. Luego,
ei,i =

dx′i − dxi
,
dxi

Es decir,
ǫ1
ǫ2
ǫ3

dx′1 − dx1
= e1,1 ,
=
dx1
dx′2 − dx2
=
= e2,2 ,
dx2
dx′3 − dx3
= e3,3 .
=
dx3

Vemos, entonces,que los ei,i est´n relacionados con la variaci´n
a
o
relativa de longitud de los segmentos materiales (elongaci´n o cono
tracci´n).
o

4

Si se considera el paralelep´
ıpedo de volumen V = dx1 dx2 dx3 formado por las componentes del elemento material, el volumen despu´s de la deformaci´n V ′ viene dado por:
e
o
V ′ = dx′1 dx′2 dx′3
= (1 + e1,1 )dx1 (1 + e2,2 )dx2 (1 + e3,3 )dx3 .Como las deformaciones son peque˜ as, ei,j 0,
∂x
∂ux
> 0.
β ≈ tan β =
∂y

α ≈ tan α =

Despu´s de la deformaci´n el ´ngulo entre ambos elementos mae
o
a
teriales es: π/2 − (α + β). Entonces, la variaci´n ∆θ del ´ngulo
o
a
entre los elementos es:
∂ux ∂uy
∆θ = −(α + β) = −
= −2ex,y ,
+
∂y
∂x
de donde deducimos que los elementos no-diagonales est´n asoa
ciados con las variacionesde los ´ngulos entre dos segmentos maa
teriales inicialmente perpendiculares. Si ei,j > 0 los ´ngulos se
a
cierran, y viceversa.
6

De esta manera, es conveniente describir el tensor de deformaci´n
o
como:
1
1
ei,j = ek,k δi,j + ei,j − ek,k δi,j
3
3
es decir,
ei,j



1
1
 0
= ek,k
3
0

 
0 0
e1,1 − 1 ek,k
3
e2,1
1 0 +
e3,1
0 1

e1,2
e2,2 − 1 ek,k
3e3,2


e1,3
.
e2,3
1
e3,3 − 3 ek,k

Tal como vimos anteriormente, el primer t´rmino de esta exe
presi´n corresponde a una compresi´n o expansi´n sin cambio de
o
o
o
forma.
Luego, el segundo t´rmino da cuenta de los cambios de forma sin
e
cambios de volumen. En efecto, la traza del segundo t´rmino es
e
id´nticamente nula.
e

7

2. Consideremos finalmente el t´rminoantisim´trico, ξi,j : Para ello, tomee
e
mos como antes dos elementos materiales mutuamente perpendiculares,
pero veamos c´mo es la deformaci´n cuando no se modifica el angulo
o
o
´
entre s´
ı.

β
y + dy
α

ux

x + uy

uy
y

x

x + ux

x + dx

Figura 5: Desplazamiento sin variaci´n angular de dos elementos materiales
o
inicialmente perpendiculares.
De la geometr´ de la figura...