Investigacion

Ecuación diferencial lineal.

DEFINICIÓN. Se llama ecuación diferencial lineal a toda ecuación de la forma


en donde p y q son funciones de x. Al primer miembro de (∗) se le llama ecuación linealhomogénea.


TEOREMA. La solución general de la ecuación diferencial lineal








Método del factor integrante.

Dentro del conjunto de ecuaciones diferenciales, no todas las ecuacionesdiferenciales son exactas, ya que la condición de exactitud es una realidad difícil de cumplir en todas ellas. Sin embargo, de todas aquellas ecuaciones diferenciales que no son exactas, podemos transformaralgunas de ellas para que se convierta en exactas. Consideremos la ecuación diferencial (1).

Como la ED no es exacta cumple:


Definición. Un Factor de Integración o Factor Integrante de una ecuacióndiferencial de la forma (1), es una función F (x, y) tal que al multiplicar la ecuación diferencial por F (x, y) se transforma en exacta. Así:
Debe cumplir:
Ejemplo.
Pruebe que la funciónF(x) = (1−x)−2 es un factor de integración de la ecuación diferencial siguiente:

Solución.

Multiplicando el factor de integración por la ecuación diferencial se obtiene:

Y verificando la condiciónde exactitud:

conduciendo a





Se puede verificar que la primera ecuación diferencial no es exacta, ya que


La función F(y) = (1+y)−2 es un factor de integración de la misma ecuación diferencial.Método de variables separables.


Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Que puede escribirse en la forma:

Se llama ecuación diferencial en variables separadas.


Unaecuación de la forma:

Puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor


Y al integrar obtenemos la solución




Tenga presente que al dividir por el factorPuede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.
 


















Método de variación de parámetros.

Este método, conocido como el método de variación de...