INVESTIGACIONES CALCULO UNIDAD I

Instituto Tecnológico Superior
De Ciudad Serdán























TEORIA PRELIMINAR

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan varias funciones incógnitas, las derivadas de esta función, las variables con respeto a las que están definidas y ciertas constantes
Este sistema tiene el tiempo t como única variable independiente y dosfunciones incógnitas x (t) e y (t).

Ecuación diferencial: es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
• Ecuacionesen derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

y^'=2xy+1

Es una ecuación diferencial ordinaria, donde y representa una función no especificada de la variableindependiente x, es decir y=f(x), y^'=dy/dx es la derivada de y con respecto a x .
La expresión:
∂u/∂x+∂u/∂y=0

Es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida).
La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial.
Se puedellevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

DEFINICIONES (ECUACION DIFERENCIAL, ORDEN, GRADO Y LINEALIDAD).

Como su nombre lo indica, una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene algunos términos diferenciales. Estos son los diferenciales de la función que contienela variable dependiente de la ecuación diferencial dada. Contiene también una o varias variables independientes.
El formato general de una ecuación diferencial es:


Al hablar de las ecuaciones diferenciales, tenemos que entender algunas terminologías básicas relacionadas con estas ecuaciones. Algunas de estas se analizan a continuación.
1. Orden de una ecuación diferencial: El orden más alto decualquiera de los diferenciales en la ecuación diferencial dada es el orden de la ecuación diferencial. Tomemos un ejemplo para clarificar el término.
d2y/ dx2 – 2yx2 = 9x
El diferencial presente en la ecuación anterior es d2y/ dx2 y el orden de este diferencial es segundo. Por lo tanto, el orden de la ecuación diferencial es uno.
2. Grado de una ecuación diferencial: El grado más alto decualquiera de los diferenciales en la ecuación diferencial dada es el grado de la ecuación diferencial. El siguiente ejemplo debe aclarar la definición.
d2y/ dx2 – 2yx2 = 9x
En la ecuación diferencial anterior que contiene el diferencial d2y/ dx2, el grado del diferencial es uno, por lo tanto, el grado de la ecuación diferencial es uno.
3. Ecuación diferencial lineal: Una ecuación diferencial queno contiene términos como producto de la función indefinida ni los del diferencial de la función indefinida se llama ecuación diferencial lineal. Manteniéndola recta, todos los términos coeficientes son funciones que contienen variables aumentadas. Esta es de la forma,


Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden.
4. Ecuación diferencial no lineal: Las ecuaciones diferenciales que nose ajustan a las condiciones antes mencionadas son llamadas ecuaciones diferenciales no lineales. Esto significa que una ecuación diferencial no lineal contiene los términos donde la variable dependiente y su diferencial aparecen juntos. Un ejemplo de ello sería,



5. Ecuación diferencial Cuasi lineal: Una ecuación diferencial cuasi lineal es un caso especial de la ecuación diferencial...