Investigaciones

Apuntes de Matem´tica Discreta a 1. Conjuntos y Subconjuntos

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e
C´diz, Octubre de 2004 a

Universidad de C´diz a

Departamento de Matem´ticas a

ii

Lecci´n 1 o

Conjuntos y Subconjuntos
Contenido
1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Determinaci´n por Extensi´n . . .. . . . . . o o 1.1.3 Determinaci´n por Comprensi´n . . . . . . . o o 1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Conjunto Vac´ . . . . . . . . . . . . . . . . . ıo 1.1.6 Axioma de Extensi´n . . . . . . . . . . . . . o 1.2 Inclusi´n de conjuntos . . . . . . . . . . . . . o 1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Inclusi´n Estricta . . . . . . . . . . . . . .. . o 1.2.3 Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.4 Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.5 Caracterizaci´n de la Igualdad . . . . . . . . o 1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Transitividad de la Inclusi´n . . . . . . . . . o 1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . .. . . 7 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . 13

Un conjunto es la reuni´n en un todo de objetos de nuestra ino tuici´n o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables o los unos de los otros.
Georg Cantor (1845-1918)

El concepto de conjunto es defundamental importancia en las matem´ticas modernas. La mayor´ de los a ıa matem´ticos creen que es posible expresar todas las matem´ticas en el lenguaje de la teor´ de conjuntos. a a ıa Nuestro inter´s en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matem´ticas como a su e a utilidad en la modelizaci´n e investigaci´n de problemas en la inform´tica. o o a Los conjuntos fueron estudiadosformalmente por primera vez por Georg Cantor1 . Despu´s de que la e teor´ de conjuntos se estableciera como un ´rea bien definida de las matem´ticas, aparecieron conıa a a tradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales paradojas, se desarrollaron aproximaciones m´s sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor´ de conjuntos se a ıa ocupa, generalmente, dela teor´ elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor. ıa Utilizaremos esta aproximaci´n m´s simple y desarrollaremos una teor´ de conjuntos de la cual es posible o a ıa
1 Georg Cantor. Matem´tico alem´n de origen ruso (San Petesburgo 1845-Halle 1918). Despu´s de estudiar en Alemania, a a e fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribi´ numerosas memorias, peroes especialmente conocido por ser el o creador de la Teor´ de los conjuntos. ıa

1

Universidad de C´diz a

Departamento de Matem´ticas a

derivar contradicciones. Parece extra˜o el proponerse tal cosa deliberadamente, pero las contradicciones n no son un problema si, como es nuestro caso, el universo del discurso se define convenientemente. A´n u m´s, la existencia de las paradojas en lateor´ elemental no afecta a la validez de nuestros resultados ya a ıa que los teoremas que presentaremos pueden demostrarse mediante sistemas alternativos en los que las paradojas no ocurren.

1.1

Generalidades

Definimos los conceptos fundamentales del tema como conjunto, elemento, determinaci´n de un conjunto o por extensi´n, por comprensi´n y estudiamos la igualdad de dos conjuntos. o...