Investigación sobre Integrales: Tipos y Métodos de Integragicón


Universidad Latina de Panamá
Sede Central
Facultad de Ingeniería
Licenciatura en Ingeniería Industrial

Investigación de Calculo
Profesor: Emiliano Gómez
Estudiante: Vivian E. Lee R.
ID: 8-879-204
Panamá, 4 de Diciembre del 2012
Índice

Introducción
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización dela suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti-derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Desde su origen, la noción de integral harespondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, GottfriedLeibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Integral Definida
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.


Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan loslímites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante poruna función es igual a la constante por la integral de la función.



Función integral
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

Regla de Simpson
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta deuna integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

Regla De Simpson 1/3

La Regla de Simpson de 1/3 proporciona unaaproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

(Xi , Yi)...