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República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Universidad Nacional Experimental De Los Llanos Occidentales
“Ezequiel Zamora”
Unellez- Tinaquillo








Ecuaciones Diferenciales










Profe:Eritson Aguilar

Tinaquillo 30/01/13


IntroducciónLas ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes adiversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada.
De este modo, los primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los primeros permiten expresar lasolución en forma exacta, como y = f (x), una función de la variable independiente, y los segundos tienen como objetivo calcular valores que toma la solución en una serie de puntos. Al conjunto de estos valores se lo denomina solución numérica. La estimación de los valores en puntos intermedios puede obtenerse por interpolación. La necesidad de recurrir a métodos alternativos a los algebraicosobedece a que, con la excepción de unos cuantos casos más o menos sencillos, la gran mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede ser resuelta satisfactoriamente en forma exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas eficientes requiere previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los métodos numéricos, si bien son eficaces para aportar una soluciónaproximada de algún problema específico, no resultan adecuados para la discusión global del conjunto de todas las soluciones.
Basada especialmente en las ideas de Poincaré y Lyapunov se desarrolló la llamada teoría cualitativa, que consiste en estudiar las propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin resolverla. Este método permite obtener gran cantidad de información acerca de lassoluciones, aún sin conocerlas.









Ecuaciones diferenciales separables
Una ecuación diferencial ordinaria separable es una ecuación diferencial que puede escribirse de la forma




O más brevemente, considerando a  como la función de  dada por, una ecuación diferencial que puede escribirse como




Podemos escribir la ecuación (1.5) como




Puesto que  es una funciónde , tenemos que . Por lo tanto, podemos integrar (1.6) para obtener




Lo que da lugar a una ecuación que define de manera explícita o implícita la solución de la ecuación diferencial.
En el proceso de solución de una ecuación diferencial separable, puede ser conveniente escribir la ecuación diferencial en forma de diferenciales. Por ejemplo, la ecuación diferencial




Se escribe enforma de diferenciales como




El único propósito de esta notación es aclarar que, para obtener la solución de la ecuación diferencial, el lado izquierdo de la ecuación ha de integrarse con respecto a , mientras que el lado derecho de la ecuación ha de integrarse con respecto a ..
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se puedenescribir como una función exclusiva de y/x:


Una ecuación de la forma


Es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Esto es así, pues podemos poner:


Y si se verifica la condición pedida:


En particular, haciendo t = 1/x resulta:


Para resolver una ecuación homogénea hacemos el cambio (y, x) a (v, x), con v = y/x. En esas condiciones podemos poner:...