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Republica Bolivariana de Venezuela


























Antiderivadas
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: endonde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.
 



Ejemplos
1-.

Se toma el exponente y se le suma uno y eso se divide entre el exponente masuno


Despues de hacer las sumas se le suma la constante



2-


La raiz de x es igual que elevarla por un medio


Luego se toma el exponente y se le toma uno y se divide por el exponente mas uno


Ya sumado da esto


Luego se hace la ley de la tortilla y se le suma la constante


Propiedades
El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límitesde integración.

Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

La integral del producto de una constante por unafunción es igual a la constante por la integral de la función.


El cambio de variable para realizar una integral consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, (la podemos llamar t, u, o como queramos), llamada variable auxiliar.
Luego, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en eldiferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable. Es decir
∫baf(x) dx=∫φ(b)φ(a)f(φ(t))⋅φ′(t) dt
Dónde se ha echo el cambio devariable φ(t)=x.
Después de hacer el cambio de variable, por lo general, se obtienen integrales más sencillas.
Procedimiento a seguir
1. Decidir el cambio de variable a usar (t una función de x).
2.Calcular dt en función de x y de dx.
3. Sustituir t y dt en la integral, para que desaparezcan las x.
4. Calcular la integral indefinida en función de t. Si no sabemos cómo calcularla, probar con otro cambio de variable u otro método de integración.
5. Volver a sustituir las t por las x para que el resultado sea en función de x.
Ejemplo
Calcular la siguiente integral por el método delcambio de variable
∫xx2+2−−−−−−√5 dx
Realizaremos el cambio de variable t=x2+2.
dt se calcula derivando la expresión de t en función de x. Pero teniendo en cuenta que al derivar x, nos queda dx (del concepto de diferencial en el temario de derivación):
dt=2x⋅dx+0=2x⋅dx
y por lo tanto
x⋅dx=dt2
∫xx2+2−−−−−−√5 dx=12∫1t√5 dt
12∫1t√5 dt=12t4545+K=58t4−−√5
58t4−−√5+K=58(x2+2)4−−−−−−−−√5+KAsí obtenemos:
∫xx2+2−−−−−−√5 dx=58(x2+2)4−−−−−−−−√5+K
Hay que tener en cuenta que esta integral podía realizarse como una integral casi-inmediata. Muchas integrales pueden resolverse de diversas formas distintas.
Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable:
∫1x2⋅4−x2−−−−−−√ dx
Mirando la integral, vemos que la raíz tiene un cierto parecido con la integral delarco coseno, por lo que intentaremos orientarla en este sentido. Realizaremos primero el cambio de variable
t=x2
para eliminar el 4 de dentro de la integral.
dt=dx2
∫1x24−x2−−−−−−√ dx=∫24t24−4t2−−−−−−√ dt=14∫1t21−t2−−−−−√ dt
Para calcular la integral resultante, realizaremos otro cambio de variable. Tomaremos ahora z=arccost, por lo que t=cosz y dt=−sinz⋅dz, quedando la integral:...