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EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS LINEALES:

Veamos primero que  respeta la suma. 
1Sean  cualesquiera en 

T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
                       = (y+y';x+x')                       = (y;x)+(y';x')
                       = T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicación por escalar. 
Sea  cualesquiera en  y  en 

T(a(x;y)) = T((ax;ay))
                   = (ay;ax)
                   = a(y;x)                   = aT((x;y))

  con lo cual hemos demostrado que  es una transformación lineal. 

Demostrar que la siguiente función 

es una transformación lineal. 
Solución: Veamosprimero que  respeta la suma. 
Sean  cualesquiera en 
T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
                             = (2(x+x')+3(y+y');(x+x')-3(y+y'))                              = (2x+2x'+3y+3y';x+x'-3y-3y')     
                         = (2x+3y;x-3y')+(2x'+3y';x'-3y')     
                         = T((x;y))+T((x';y'))   

Ahora la multiplicación por escalar. 
Sea  cualesquiera en  y  en T(a(x;y)) = T((ax;ay))     
= (2ax+3ay;ax-3ay)
    = (a(2x+3y);a(x-3y))
    = a(2x+3y;x-3y)
    = aT((x;y))

  con lo cual hemos demostrado que  es una transformación lineal. 
Demostrar que la siguiente función es una transformación lineal. 
Solución: Veamos primero que  respeta la suma. 
Sean   cualesquiera en 

T((ax2+bx+c)+(a'x2+b'x+c')) = T((a+a')x2+(b+b')x+(c+c'))
                                                = ((a+a')-(b+b');2(c+c')+(b+b'))     
                                             = (a-b+a'-b';2c+b+2c'+b')     
                                            = (a-b;2c+b)+(a'-b';2c'+b')     
                                             = T(ax2+bx+c)+T(a'x2+b'x+c')   

Ahora la multiplicación por escalar. 
Sea  cualesquiera en  y  en 

T(x-ax2+bx+cx) = T(xax2+xbx+xc)
                             = (xa-xb;2xc+xb)     
                          = (x(a-b);x(2c+b))     
                          = x(a-b;2c+b)     ...